微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 4}{x + 2}$ , $[- 1, 4]$

解题步骤 1

如果 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上连续且在区间 $(a, b)$ 上可微，则区间 $(a, b)$ 内至少存在一个实数 $c$ 使得 $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。中值定理表述的是曲线在 $x = c$ 处的切线斜率与经过点 $(a, f (a))$ 和点 $(b, f (b))$ 的直线的斜率之间的关系。

如果 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续

且如果 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上可微，

然后存在至少一个点， $[a, b]$ 中的 $c$ ： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。

解题步骤 2

检验 $f (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 4}{x + 2}$ 是否连续。

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解题步骤 2.1

要求函数在 $[- 1, 4]$ 上是否连续，请求出 $f (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 4}{x + 2}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1.1

将 $\frac{x^{2} - 3 x - 4}{x + 2}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.1.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 2.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq - 2}$

区间计数法：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq - 2}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 在 $[- 1, 4]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 3

求导数。

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解题步骤 3.1

求一阶导数。

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解题步骤 3.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 3 x - 4$ 且 $g (x) = x + 2$ 。

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4] - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2

求微分。

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解题步骤 3.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 3 x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.3

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x + 2) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + 2) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.5

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x + 2) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.6

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x + 2) (2 x - 3 + 0) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.7

将 $2 x - 3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x + 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.8

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{(x + 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.10

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x + 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.11

化简表达式。

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解题步骤 3.1.2.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x + 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.11.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x + 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.3

化简。

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解题步骤 3.1.3.1

运用分配律。

$\frac{(x + 2) (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.3.2

化简分子。

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解题步骤 3.1.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (2 x - 3)$ 。

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解题步骤 3.1.3.2.1.1.1

运用分配律。

$\frac{x (2 x - 3) + 2 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.3.2.1.1.2

运用分配律。

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 3 + 2 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.3.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.3.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1.3.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.2.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.3.2.1.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.1.3.2.1.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.3.2.1.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.3.2.1.2.1.3

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{2 x^{2} - 3 \cdot x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.3.2.1.2.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2} - 3 x + 4 x + 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.3.2.1.2.1.5

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{2 x^{2} - 3 x + 4 x - 6 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.3.2.1.2.2

将 $- 3 x$ 和 $4 x$ 相加。

$\frac{2 x^{2} + x - 6 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.3.2.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{2} + x - 6 - x^{2} + 3 x - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.3.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{2 x^{2} + x - 6 - x^{2} + 3 x + 4}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.3.2.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} + x - 6 + 3 x + 4}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.3.2.3

将 $x$ 和 $3 x$ 相加。

$\frac{x^{2} + 4 x - 6 + 4}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.1.3.2.4

将 $- 6$ 和 $4$ 相加。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}}$ 。

$\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4

判断导数在 $(- 1, 4)$ 上是否连续。

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解题步骤 4.1

要求函数在 $(- 1, 4)$ 上是否连续，请求出 $f' (x) = \frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}}$ 的定义域。

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解题步骤 4.1.1

将 $\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x + 2)}^{2} = 0$

解题步骤 4.1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 4.1.2.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 4.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq - 2}$

区间计数法：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq - 2}$

解题步骤 4.2

$f' (x)$ 在 $(- 1, 4)$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 5

该函数在 $(- 1, 4)$ 上可微，因为其导数在 $(- 1, 4)$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 6

$f (x)$ 满足中值定理的两个条件。它在 $[- 1, 4]$ 上连续，并且在 $(- 1, 4)$ 上可微。

$f (x)$ 在 $[- 1, 4]$ 上连续，在 $(- 1, 4)$ 上可微。

解题步骤 7

在区间 $[- 1, 4]$ 内计算 $f (a)$ 。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 - 4}{(- 1) + 2}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1) = \frac{1 - 3 \cdot - 1 - 4}{- 1 + 2}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 1) = \frac{1 + 3 - 4}{- 1 + 2}$

解题步骤 7.2.1.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f (- 1) = \frac{4 - 4}{- 1 + 2}$

解题步骤 7.2.1.4

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$f (- 1) = \frac{0}{- 1 + 2}$

解题步骤 7.2.2

化简表达式。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$f (- 1) = \frac{0}{1}$

解题步骤 7.2.2.2

用 $0$ 除以 $1$ 。

$f (- 1) = 0$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 8

求解 $x$ 的 $\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ ， $\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (4) + f (- 1))}{- (4 - 1)}$ 。

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解题步骤 8.1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 8.1.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{0 + 0}{(4) - (- 1)}$

解题步骤 8.1.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{0}{(4) - (- 1)}$

解题步骤 8.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{0}{4 + 1}$

解题步骤 8.1.4

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{0}{5}$

解题步骤 8.1.5

用 $0$ 除以 $5$ 。

$\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} = 0$

解题步骤 8.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 8.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

${(x + 2)}^{2}, 1$

解题步骤 8.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

${(x + 2)}^{2}$

解题步骤 8.3

将 $\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} = 0$ 中的每一项乘以 ${(x + 2)}^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 8.3.1

将 $\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} = 0$ 中的每一项乘以 ${(x + 2)}^{2}$ 。

$\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = 0 {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 8.3.2

化简左边。

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解题步骤 8.3.2.1

约去 ${(x + 2)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = 0 {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 8.3.2.1.2

重写表达式。

$x^{2} + 4 x - 2 = 0 {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 8.3.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.3.1

将 $0$ 乘以 ${(x + 2)}^{2}$ 。

$x^{2} + 4 x - 2 = 0$

解题步骤 8.4

求解方程。

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解题步骤 8.4.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 8.4.2

将 $a = 1$ 、 $b = 4$ 和 $c = - 2$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.4.3

化简。

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解题步骤 8.4.3.1

化简分子。

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解题步骤 8.4.3.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.4.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 8.4.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.4.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.4.3.1.3

将 $16$ 和 $8$ 相加。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.4.3.1.4

将 $24$ 重写为 $2^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 8.4.3.1.4.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.4.3.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.4.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.4.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

解题步骤 8.4.3.3

化简 $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ 。

$x = - 2 \pm \sqrt{6}$

解题步骤 8.4.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 8.4.4.1

化简分子。

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解题步骤 8.4.4.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.4.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 8.4.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.4.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.4.4.1.3

将 $16$ 和 $8$ 相加。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.4.4.1.4

将 $24$ 重写为 $2^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 8.4.4.1.4.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.4.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.4.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.4.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

解题步骤 8.4.4.3

化简 $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ 。

$x = - 2 \pm \sqrt{6}$

解题步骤 8.4.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = - 2 + \sqrt{6}$

解题步骤 8.4.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 8.4.5.1

化简分子。

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解题步骤 8.4.5.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.4.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 8.4.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.4.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.4.5.1.3

将 $16$ 和 $8$ 相加。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.4.5.1.4

将 $24$ 重写为 $2^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 8.4.5.1.4.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.4.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.4.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.4.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

解题步骤 8.4.5.3

化简 $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ 。

$x = - 2 \pm \sqrt{6}$

解题步骤 8.4.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = - 2 - \sqrt{6}$

解题步骤 8.4.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - 2 + \sqrt{6}, - 2 - \sqrt{6}$

解题步骤 9

点 $x = - 2 + \sqrt{6}$ 处存在一条切线，且与经过端点 $a = - 1$ 和 $b = 4$ 的直线平行。

解题步骤 10

点 $x = - 2 - \sqrt{6}$ 处存在一条切线，且与经过端点 $a = - 1$ 和 $b = 4$ 的直线平行。

解题步骤 11

微积分学 示例

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