微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{7 x - 1}$ , $[4, 5]$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$\frac{1}{7 x - 1} = 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 的 $\frac{1}{7 x - 1} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将分子设为等于零。

$1 = 0$

解题步骤 1.2.2

因为 $1 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 2

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{4}^{5} \frac{1}{7 x - 1} d x - \int_{4}^{5} 0 d x$

解题步骤 3

用积分求 $4$ 和 $5$ 之间的面积。

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解题步骤 3.1

将积分合并为一个单积分。

$\int_{4}^{5} \frac{1}{7 x - 1} - (0) d x$

解题步骤 3.2

从 $\frac{1}{7 x - 1}$ 中减去 $0$ 。

$\int_{4}^{5} \frac{1}{7 x - 1} d x$

解题步骤 3.3

使 $u = 7 x - 1$ 。然后使 $d u = 7 d x$ ，以便 $\frac{1}{7} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.3.1

设 $u = 7 x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

对 $7 x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [7 x - 1]$

解题步骤 3.3.1.2

根据加法法则， $7 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.3.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [7 x]$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.3.1.3.3

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$7 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.3.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.3.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$7 + 0$

解题步骤 3.3.1.4.2

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$7$

解题步骤 3.3.2

将下限代入替换 $u = 7 x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 7 \cdot 4 - 1$

解题步骤 3.3.3

化简。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$u_{lower} = 28 - 1$

解题步骤 3.3.3.2

从 $28$ 中减去 $1$ 。

$u_{lower} = 27$

解题步骤 3.3.4

将上限代入替换 $u = 7 x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 7 \cdot 5 - 1$

解题步骤 3.3.5

化简。

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解题步骤 3.3.5.1

将 $7$ 乘以 $5$ 。

$u_{upper} = 35 - 1$

解题步骤 3.3.5.2

从 $35$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = 34$

解题步骤 3.3.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 27$

$u_{upper} = 34$

解题步骤 3.3.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{27}^{34} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{7} d u$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{7}$ 。

$\int_{27}^{34} \frac{1}{u \cdot 7} d u$

解题步骤 3.4.2

将 $7$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int_{27}^{34} \frac{1}{7 u} d u$

解题步骤 3.5

由于 $\frac{1}{7}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{7}$ 移到积分外。

$\frac{1}{7} \int_{27}^{34} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 3.6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{7} \ln (| u |)]_{27}^{34}$

解题步骤 3.7

计算 $\ln (| u |)$ 在 $34$ 处和在 $27$ 处的值。

$\frac{1}{7} (\ln (| 34 |) - \ln (| 27 |))$

解题步骤 3.8

化简。

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解题步骤 3.8.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{1}{7} \ln (\frac{| 34 |}{| 27 |})$

解题步骤 3.8.2

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $\ln (\frac{| 34 |}{| 27 |})$ 。

$\frac{\ln (\frac{| 34 |}{| 27 |})}{7}$

解题步骤 3.9

化简。

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解题步骤 3.9.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $34$ 之间的距离为 $34$ 。

$\frac{\ln (\frac{34}{| 27 |})}{7}$

解题步骤 3.9.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $27$ 之间的距离为 $27$ 。

$\frac{\ln (\frac{34}{27})}{7}$

解题步骤 4

加上面积 $\frac{\ln (\frac{34}{27})}{7}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{\ln (\frac{34}{27})}{7}$ 重写为 $\frac{1}{7} \ln (\frac{34}{27})$ 。

$\frac{1}{7} \ln (\frac{34}{27})$

解题步骤 4.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{7} \ln (\frac{34}{27})$ 。

$\ln ({(\frac{34}{27})}^{\frac{1}{7}})$

解题步骤 4.3

对 $\frac{34}{27}$ 运用乘积法则。

$\ln (\frac{34^{\frac{1}{7}}}{27^{\frac{1}{7}}})$

解题步骤 5

微积分学 示例

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