微积分学示例

$h (x) = \sin (2 x) + \cos (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $\sin (2 x) + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.1.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2.5

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f' (x) = 2 \cos (2 x) - \sin (x)$

解题步骤 1.2

$h (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 \cos (2 x) - \sin (x)$ 。

$2 \cos (2 x) - \sin (x)$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 \cos (2 x) - \sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 \cos (2 x) - \sin (x) = 0$

解题步骤 2.2

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - \sin (x) = 0$

解题步骤 2.3

化简左边。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

运用分配律。

$2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - \sin (x) = 0$

解题步骤 2.3.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - \sin (x) = 0$

解题步骤 2.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$2 - 4 \sin^{2} (x) - \sin (x) = 0$

解题步骤 2.4

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.4.1

代入 $u$ 替换 $\sin (x)$ 。

$2 - 4 {(u)}^{2} - (u) = 0$

解题步骤 2.4.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4.3

将 $a = - 4$ 、 $b = - 1$ 和 $c = 2$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot 2)}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 2.4.4

化简。

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解题步骤 2.4.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.4.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 4 \cdot 2}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 2.4.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 4 \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.4.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16 \cdot 2}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 2.4.4.1.2.2

将 $16$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 2.4.4.1.3

将 $1$ 和 $32$ 相加。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 2.4.4.2

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{- 8}$

解题步骤 2.4.4.3

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 2.4.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.4.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.5.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 4 \cdot 2}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 2.4.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 4 \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.4.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16 \cdot 2}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 2.4.5.1.2.2

将 $16$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 2.4.5.1.3

将 $1$ 和 $32$ 相加。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 2.4.5.2

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{- 8}$

解题步骤 2.4.5.3

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 2.4.5.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$u = - \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 2.4.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.4.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.6.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 4 \cdot 2}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 2.4.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 4 \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.4.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16 \cdot 2}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 2.4.6.1.2.2

将 $16$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 2.4.6.1.3

将 $1$ 和 $32$ 相加。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 2.4.6.2

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{- 8}$

解题步骤 2.4.6.3

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 2.4.6.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$u = - \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 2.4.7

最终答案为两个解的组合。

$u = - \frac{1 + \sqrt{33}}{8}, - \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 2.4.8

代入 $\sin (x)$ 替换 $u$ 。

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{33}}{8}, - \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 2.4.9

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 2.4.10

在 $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.10.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 2.4.10.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.10.2.1

计算 $\arcsin (- \frac{1 + \sqrt{33}}{8})$ 。

$x = - 1.00296695$

解题步骤 2.4.10.3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 (3.14159265) + 1.00296695 + 3.14159265$

解题步骤 2.4.10.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 2.4.10.4.1

从 $2 (3.14159265) + 1.00296695 + 3.14159265$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 (3.14159265) + 1.00296695 + 3.14159265 - 2 π$

解题步骤 2.4.10.4.2

得出的角 $4.1445596$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 (3.14159265) + 1.00296695 + 3.14159265$ 共边。

$x = 4.1445596$

解题步骤 2.4.10.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.4.10.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.4.10.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.4.10.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.4.10.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.4.10.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 2.4.10.6.1

将 $2 π$ 加到 $- 1.00296695$ 以求正角。

$- 1.00296695 + 2 π$

解题步骤 2.4.10.6.2

从 $2 π$ 中减去 $1.00296695$ 。

$5.28021835$

解题步骤 2.4.10.6.3

列出新角。

$x = 5.28021835$

解题步骤 2.4.10.7

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 4.1445596 + 2 π n, 5.28021835 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.4.11

在 $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.11.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 2.4.11.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.11.2.1

计算 $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{33}}{8})$ 。

$x = 0.63486687$

解题步骤 2.4.11.3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 (3.14159265) - 0.63486687 + 3.14159265$

解题步骤 2.4.11.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 2.4.11.4.1

从 $2 (3.14159265) - 0.63486687 + 3.14159265$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 (3.14159265) - 0.63486687 + 3.14159265 - 2 π$

解题步骤 2.4.11.4.2

得出的角 $2.50672578$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 (3.14159265) - 0.63486687 + 3.14159265$ 共边。

$x = 2.50672578$

解题步骤 2.4.11.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.4.11.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.4.11.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.4.11.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.4.11.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.4.11.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.63486687 + 2 π n, 2.50672578 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.4.12

列出所有解。

$x = 4.1445596 + 2 π n, 5.28021835 + 2 π n, 0.63486687 + 2 π n, 2.50672578 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\sin (2 x) + \cos (x)$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 4.1445596$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $4.1445596$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (4.1445596)) + \cos (4.1445596)$

解题步骤 4.1.2

将 $2$ 乘以 $4.1445596$ 。

$\sin (8.28911921) + \cos (4.1445596)$

解题步骤 4.2

在 $x = 4.1445596 + 2 π$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $4.1445596 + 2 π$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (4.1445596 + 2 π)) + \cos (4.1445596 + 2 π)$

解题步骤 4.2.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $4.1445596$ 和 $2 π$ 相加。

$\sin (2 \cdot 10.42774491) + \cos (4.1445596 + 2 π)$

解题步骤 4.2.2.2

将 $2$ 乘以 $10.42774491$ 。

$\sin (20.85548982) + \cos (4.1445596 + 2 π)$

解题步骤 4.2.2.3

将 $4.1445596$ 和 $2 π$ 相加。

$\sin (20.85548982) + \cos (10.42774491)$

解题步骤 4.3

在 $x = 4.1445596 + 4 π$ 处计算

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解题步骤 4.3.1

代入 $4.1445596 + 4 π$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (4.1445596 + 4 π)) + \cos (4.1445596 + 4 π)$

解题步骤 4.3.2

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $4.1445596$ 和 $4 π$ 相加。

$\sin (2 \cdot 16.71093022) + \cos (4.1445596 + 4 π)$

解题步骤 4.3.2.2

将 $2$ 乘以 $16.71093022$ 。

$\sin (33.42186044) + \cos (4.1445596 + 4 π)$

解题步骤 4.3.2.3

将 $4.1445596$ 和 $4 π$ 相加。

$\sin (33.42186044) + \cos (16.71093022)$

解题步骤 4.4

在 $x = 4.1445596 + 6 π$ 处计算

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解题步骤 4.4.1

代入 $4.1445596 + 6 π$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (4.1445596 + 6 π)) + \cos (4.1445596 + 6 π)$

解题步骤 4.4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.4.2.1

将 $4.1445596$ 和 $6 π$ 相加。

$\sin (2 \cdot 22.99411552) + \cos (4.1445596 + 6 π)$

解题步骤 4.4.2.2

将 $2$ 乘以 $22.99411552$ 。

$\sin (45.98823105) + \cos (4.1445596 + 6 π)$

解题步骤 4.4.2.3

将 $4.1445596$ 和 $6 π$ 相加。

$\sin (45.98823105) + \cos (22.99411552)$

解题步骤 4.5

在 $x = 4.1445596 + 8 π$ 处计算

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解题步骤 4.5.1

代入 $4.1445596 + 8 π$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (4.1445596 + 8 π)) + \cos (4.1445596 + 8 π)$

解题步骤 4.5.2

化简每一项。

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解题步骤 4.5.2.1

将 $4.1445596$ 和 $8 π$ 相加。

$\sin (2 \cdot 29.27730083) + \cos (4.1445596 + 8 π)$

解题步骤 4.5.2.2

将 $2$ 乘以 $29.27730083$ 。

$\sin (58.55460167) + \cos (4.1445596 + 8 π)$

解题步骤 4.5.2.3

将 $4.1445596$ 和 $8 π$ 相加。

$\sin (58.55460167) + \cos (29.27730083)$

解题步骤 4.6

在 $x = 5.28021835$ 处计算

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解题步骤 4.6.1

代入 $5.28021835$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (5.28021835)) + \cos (5.28021835)$

解题步骤 4.6.2

将 $2$ 乘以 $5.28021835$ 。

$\sin (10.5604367) + \cos (5.28021835)$

解题步骤 4.7

在 $x = 5.28021835 + 2 π$ 处计算

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解题步骤 4.7.1

代入 $5.28021835 + 2 π$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (5.28021835 + 2 π)) + \cos (5.28021835 + 2 π)$

解题步骤 4.7.2

化简每一项。

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解题步骤 4.7.2.1

将 $5.28021835$ 和 $2 π$ 相加。

$\sin (2 \cdot 11.56340366) + \cos (5.28021835 + 2 π)$

解题步骤 4.7.2.2

将 $2$ 乘以 $11.56340366$ 。

$\sin (23.12680732) + \cos (5.28021835 + 2 π)$

解题步骤 4.7.2.3

将 $5.28021835$ 和 $2 π$ 相加。

$\sin (23.12680732) + \cos (11.56340366)$

解题步骤 4.8

在 $x = 5.28021835 + 4 π$ 处计算

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解题步骤 4.8.1

代入 $5.28021835 + 4 π$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (5.28021835 + 4 π)) + \cos (5.28021835 + 4 π)$

解题步骤 4.8.2

化简每一项。

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解题步骤 4.8.2.1

将 $5.28021835$ 和 $4 π$ 相加。

$\sin (2 \cdot 17.84658896) + \cos (5.28021835 + 4 π)$

解题步骤 4.8.2.2

将 $2$ 乘以 $17.84658896$ 。

$\sin (35.69317793) + \cos (5.28021835 + 4 π)$

解题步骤 4.8.2.3

将 $5.28021835$ 和 $4 π$ 相加。

$\sin (35.69317793) + \cos (17.84658896)$

解题步骤 4.9

在 $x = 5.28021835 + 6 π$ 处计算

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解题步骤 4.9.1

代入 $5.28021835 + 6 π$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (5.28021835 + 6 π)) + \cos (5.28021835 + 6 π)$

解题步骤 4.9.2

化简每一项。

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解题步骤 4.9.2.1

将 $5.28021835$ 和 $6 π$ 相加。

$\sin (2 \cdot 24.12977427) + \cos (5.28021835 + 6 π)$

解题步骤 4.9.2.2

将 $2$ 乘以 $24.12977427$ 。

$\sin (48.25954854) + \cos (5.28021835 + 6 π)$

解题步骤 4.9.2.3

将 $5.28021835$ 和 $6 π$ 相加。

$\sin (48.25954854) + \cos (24.12977427)$

解题步骤 4.10

在 $x = 5.28021835 + 8 π$ 处计算

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解题步骤 4.10.1

代入 $5.28021835 + 8 π$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (5.28021835 + 8 π)) + \cos (5.28021835 + 8 π)$

解题步骤 4.10.2

化简每一项。

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解题步骤 4.10.2.1

将 $5.28021835$ 和 $8 π$ 相加。

$\sin (2 \cdot 30.41295958) + \cos (5.28021835 + 8 π)$

解题步骤 4.10.2.2

将 $2$ 乘以 $30.41295958$ 。

$\sin (60.82591916) + \cos (5.28021835 + 8 π)$

解题步骤 4.10.2.3

将 $5.28021835$ 和 $8 π$ 相加。

$\sin (60.82591916) + \cos (30.41295958)$

解题步骤 4.11

在 $x = 0.63486687$ 处计算

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解题步骤 4.11.1

代入 $0.63486687$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (0.63486687)) + \cos (0.63486687)$

解题步骤 4.11.2

将 $2$ 乘以 $0.63486687$ 。

$\sin (1.26973374) + \cos (0.63486687)$

解题步骤 4.12

在 $x = 0.63486687 + 2 π$ 处计算

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解题步骤 4.12.1

代入 $0.63486687 + 2 π$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (0.63486687 + 2 π)) + \cos (0.63486687 + 2 π)$

解题步骤 4.12.2

化简每一项。

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解题步骤 4.12.2.1

将 $0.63486687$ 和 $2 π$ 相加。

$\sin (2 \cdot 6.91805217) + \cos (0.63486687 + 2 π)$

解题步骤 4.12.2.2

将 $2$ 乘以 $6.91805217$ 。

$\sin (13.83610435) + \cos (0.63486687 + 2 π)$

解题步骤 4.12.2.3

将 $0.63486687$ 和 $2 π$ 相加。

$\sin (13.83610435) + \cos (6.91805217)$

解题步骤 4.13

在 $x = 0.63486687 + 4 π$ 处计算

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解题步骤 4.13.1

代入 $0.63486687 + 4 π$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (0.63486687 + 4 π)) + \cos (0.63486687 + 4 π)$

解题步骤 4.13.2

化简每一项。

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解题步骤 4.13.2.1

将 $0.63486687$ 和 $4 π$ 相加。

$\sin (2 \cdot 13.20123748) + \cos (0.63486687 + 4 π)$

解题步骤 4.13.2.2

将 $2$ 乘以 $13.20123748$ 。

$\sin (26.40247497) + \cos (0.63486687 + 4 π)$

解题步骤 4.13.2.3

将 $0.63486687$ 和 $4 π$ 相加。

$\sin (26.40247497) + \cos (13.20123748)$

解题步骤 4.14

在 $x = 0.63486687 + 6 π$ 处计算

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解题步骤 4.14.1

代入 $0.63486687 + 6 π$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (0.63486687 + 6 π)) + \cos (0.63486687 + 6 π)$

解题步骤 4.14.2

化简每一项。

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解题步骤 4.14.2.1

将 $0.63486687$ 和 $6 π$ 相加。

$\sin (2 \cdot 19.48442279) + \cos (0.63486687 + 6 π)$

解题步骤 4.14.2.2

将 $2$ 乘以 $19.48442279$ 。

$\sin (38.96884558) + \cos (0.63486687 + 6 π)$

解题步骤 4.14.2.3

将 $0.63486687$ 和 $6 π$ 相加。

$\sin (38.96884558) + \cos (19.48442279)$

解题步骤 4.15

在 $x = 0.63486687 + 8 π$ 处计算

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解题步骤 4.15.1

代入 $0.63486687 + 8 π$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (0.63486687 + 8 π)) + \cos (0.63486687 + 8 π)$

解题步骤 4.15.2

化简每一项。

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解题步骤 4.15.2.1

将 $0.63486687$ 和 $8 π$ 相加。

$\sin (2 \cdot 25.76760809) + \cos (0.63486687 + 8 π)$

解题步骤 4.15.2.2

将 $2$ 乘以 $25.76760809$ 。

$\sin (51.53521619) + \cos (0.63486687 + 8 π)$

解题步骤 4.15.2.3

将 $0.63486687$ 和 $8 π$ 相加。

$\sin (51.53521619) + \cos (25.76760809)$

解题步骤 4.16

在 $x = 2.50672578$ 处计算

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解题步骤 4.16.1

代入 $2.50672578$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (2.50672578)) + \cos (2.50672578)$

解题步骤 4.16.2

将 $2$ 乘以 $2.50672578$ 。

$\sin (5.01345156) + \cos (2.50672578)$

解题步骤 4.17

在 $x = 2.50672578 + 2 π$ 处计算

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解题步骤 4.17.1

代入 $2.50672578 + 2 π$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (2.50672578 + 2 π)) + \cos (2.50672578 + 2 π)$

解题步骤 4.17.2

化简每一项。

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解题步骤 4.17.2.1

将 $2.50672578$ 和 $2 π$ 相加。

$\sin (2 \cdot 8.78991108) + \cos (2.50672578 + 2 π)$

解题步骤 4.17.2.2

将 $2$ 乘以 $8.78991108$ 。

$\sin (17.57982217) + \cos (2.50672578 + 2 π)$

解题步骤 4.17.2.3

将 $2.50672578$ 和 $2 π$ 相加。

$\sin (17.57982217) + \cos (8.78991108)$

解题步骤 4.18

在 $x = 2.50672578 + 4 π$ 处计算

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解题步骤 4.18.1

代入 $2.50672578 + 4 π$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (2.50672578 + 4 π)) + \cos (2.50672578 + 4 π)$

解题步骤 4.18.2

化简每一项。

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解题步骤 4.18.2.1

将 $2.50672578$ 和 $4 π$ 相加。

$\sin (2 \cdot 15.07309639) + \cos (2.50672578 + 4 π)$

解题步骤 4.18.2.2

将 $2$ 乘以 $15.07309639$ 。

$\sin (30.14619279) + \cos (2.50672578 + 4 π)$

解题步骤 4.18.2.3

将 $2.50672578$ 和 $4 π$ 相加。

$\sin (30.14619279) + \cos (15.07309639)$

解题步骤 4.19

在 $x = 2.50672578 + 6 π$ 处计算

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解题步骤 4.19.1

代入 $2.50672578 + 6 π$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (2.50672578 + 6 π)) + \cos (2.50672578 + 6 π)$

解题步骤 4.19.2

化简每一项。

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解题步骤 4.19.2.1

将 $2.50672578$ 和 $6 π$ 相加。

$\sin (2 \cdot 21.3562817) + \cos (2.50672578 + 6 π)$

解题步骤 4.19.2.2

将 $2$ 乘以 $21.3562817$ 。

$\sin (42.7125634) + \cos (2.50672578 + 6 π)$

解题步骤 4.19.2.3

将 $2.50672578$ 和 $6 π$ 相加。

$\sin (42.7125634) + \cos (21.3562817)$

解题步骤 4.20

在 $x = 2.50672578 + 8 π$ 处计算

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解题步骤 4.20.1

代入 $2.50672578 + 8 π$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (2.50672578 + 8 π)) + \cos (2.50672578 + 8 π)$

解题步骤 4.20.2

化简每一项。

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解题步骤 4.20.2.1

将 $2.50672578$ 和 $8 π$ 相加。

$\sin (2 \cdot 27.63946701) + \cos (2.50672578 + 8 π)$

解题步骤 4.20.2.2

将 $2$ 乘以 $27.63946701$ 。

$\sin (55.27893402) + \cos (2.50672578 + 8 π)$

解题步骤 4.20.2.3

将 $2.50672578$ 和 $8 π$ 相加。

$\sin (55.27893402) + \cos (27.63946701)$

解题步骤 4.21

列出所有的点。

$(4.1445596, \sin (8.28911921) + \cos (4.1445596)), (4.1445596 + 2 π, \sin (20.85548982) + \cos (10.42774491)), (4.1445596 + 4 π, \sin (33.42186044) + \cos (16.71093022)), (4.1445596 + 6 π, \sin (45.98823105) + \cos (22.99411552)), (4.1445596 + 8 π, \sin (58.55460167) + \cos (29.27730083)), (5.28021835, \sin (10.5604367) + \cos (5.28021835)), (5.28021835 + 2 π, \sin (23.12680732) + \cos (11.56340366)), (5.28021835 + 4 π, \sin (35.69317793) + \cos (17.84658896)), (5.28021835 + 6 π, \sin (48.25954854) + \cos (24.12977427)), (5.28021835 + 8 π, \sin (60.82591916) + \cos (30.41295958)), (0.63486687, \sin (1.26973374) + \cos (0.63486687)), (0.63486687 + 2 π, \sin (13.83610435) + \cos (6.91805217)), (0.63486687 + 4 π, \sin (26.40247497) + \cos (13.20123748)), (0.63486687 + 6 π, \sin (38.96884558) + \cos (19.48442279)), (0.63486687 + 8 π, \sin (51.53521619) + \cos (25.76760809)), (2.50672578, \sin (5.01345156) + \cos (2.50672578)), (2.50672578 + 2 π, \sin (17.57982217) + \cos (8.78991108)), (2.50672578 + 4 π, \sin (30.14619279) + \cos (15.07309639)), (2.50672578 + 6 π, \sin (42.7125634) + \cos (21.3562817)), (2.50672578 + 8 π, \sin (55.27893402) + \cos (27.63946701))$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例