微积分学示例

$g (x) = - 5 \sec (x)$ , $- \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ 。

$- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 1.1.1.2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$f' (x) = - 5 \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 1.1.2

$g (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 5 \sec (x) \tan (x)$ 。

$- 5 \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$

解题步骤 1.2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

解题步骤 1.2.3

将 $\sec (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $\sec (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sec (x) = 0$

解题步骤 1.2.3.2

正割函数的值域为 $y \leq - 1$ 和 $y \geq 1$ 。因为 $0$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 1.2.4

将 $\tan (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $\tan (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (x) = 0$

解题步骤 1.2.4.2

求解 $x$ 的 $\tan (x) = 0$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (0)$

解题步骤 1.2.4.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.2.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.4.2.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + 0$

解题步骤 1.2.4.2.4

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$x = π$

解题步骤 1.2.4.2.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 1.2.4.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 1.2.4.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 1.2.4.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 1.2.4.2.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 1.2.4.2.6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.5

最终解为使 $- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$ 成立的所有值。

$x = π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.6

合并答案。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

将 $\sec (x)$ 的自变量设为等于 $\frac{π}{2} + π n$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3.2

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ , $n$ ，对任何整数 $n$

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $- 5 \sec (x)$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$- 5 \sec (0)$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 5 \cdot 1$

解题步骤 1.4.1.2.2

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$- 5$

解题步骤 1.4.2

在 $x = π$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $π$ 替换 $x$ 。

$- 5 \sec (π)$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$- 5 (- \sec (0))$

解题步骤 1.4.2.2.2

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 5 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 1.4.2.2.3

乘以 $- 5 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 5 \cdot - 1$

解题步骤 1.4.2.2.3.2

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$5$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(0 + 2 π n, - 5), (π + 2 π n, 5)$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

$(0, - 5), (π, 5)$

解题步骤 3

使用二阶导数判别法来确定哪些点可能有极大值或极小值。

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解题步骤 3.1

求二阶导数。

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解题步骤 3.1.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 \sec (x) \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ 。

$- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$- 5 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

解题步骤 3.1.3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$- 5 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

解题步骤 3.1.4

通过指数相加将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 3.1.4.1

将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 3.1.4.1.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 5 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

解题步骤 3.1.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 5 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

解题步骤 3.1.4.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

解题步骤 3.1.5

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

解题步骤 3.1.6

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x))$

解题步骤 3.1.7

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x))$

解题步骤 3.1.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 5 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

解题步骤 3.1.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

解题步骤 3.1.10

化简。

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解题步骤 3.1.10.1

运用分配律。

$- 5 \sec^{3} (x) - 5 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

解题步骤 3.1.10.2

重新排序项。

$- 5 \tan^{2} (x) \sec (x) - 5 \sec^{3} (x)$

解题步骤 3.2

代入 $0$ 替换 $x$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$- 5 \tan^{2} (0) \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

解题步骤 3.2.2

计算 $\tan (0)$ 。

$- 5 \cdot 0^{2} \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

解题步骤 3.2.3

对 $0$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 5 \cdot 0 \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

解题步骤 3.2.4

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$0 \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

解题步骤 3.2.5

计算 $\sec (0)$ 。

$0 \cdot 1 - 5 \sec^{3} (0)$

解题步骤 3.2.6

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0 - 5 \sec^{3} (0)$

解题步骤 3.2.7

计算 $\sec (0)$ 。

$0 - 5 \cdot 1^{3}$

解题步骤 3.2.8

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$0 - 5 \cdot 1$

解题步骤 3.2.9

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$0 - 5$

解题步骤 3.2.10

从 $0$ 中减去 $5$ 。

$- 5$

解题步骤 3.3

因为 $0$ 处的二阶导数的值为负数，所以这是一个极大值。

$0$ 是一个极大值

解题步骤 3.4

代入 $π$ 替换 $x$ 并化简。

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解题步骤 3.4.1

代入 $π$ 替换 $x$ 。

$- 5 \tan^{2} (π) \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

解题步骤 3.4.2

计算 $\tan (π)$ 。

$- 5 {(0)}^{2} \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

解题步骤 3.4.3

对 $0$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 5 \cdot 0 \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

解题步骤 3.4.4

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$0 \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

解题步骤 3.4.5

计算 $\sec (π)$ 。

$0 \cdot - 1 - 5 \sec^{3} (π)$

解题步骤 3.4.6

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 5 \sec^{3} (π)$

解题步骤 3.4.7

计算 $\sec (π)$ 。

$0 - 5 {(- 1)}^{3}$

解题步骤 3.4.8

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$0 - 5 \cdot - 1$

解题步骤 3.4.9

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 5$

解题步骤 3.4.10

将 $0$ 和 $5$ 相加。

$5$

解题步骤 3.5

因为 $π$ 处的二阶导数的值为正数，所以这是一个极小值。

$π$ 是一个极小值

解题步骤 3.6

列出局部极值

$0$ 是一个极大值

$π$ 是一个极小值

$0$ 是一个极大值

$π$ 是一个极小值

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $g (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $g (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $g (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(0, - 5)$

最小绝对值： $(π, 5)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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