微积分学示例

$f (x) = 8 x + 8 \cot (\frac{x}{2})$ , $[\frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $8 x + 8 \cot (\frac{x}{2})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$ 。

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [8 x]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$8 + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 \cot (\frac{x}{2})$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\cot (\frac{x}{2})]$ 。

$8 + 8 \frac{d}{d x} [\cot (\frac{x}{2})]$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cot (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$8 + 8 (\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 1.1.1.3.2.2

$\cot (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \csc^{2} (u)$ 。

$8 + 8 (- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 1.1.1.3.2.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 + 8 (- \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 1.1.1.3.3

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$8 + 8 (- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 1.1.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 + 8 (- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1))$

解题步骤 1.1.1.3.5

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$8 + 8 (- \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1}{2})$

解题步骤 1.1.1.3.6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ 。

$8 + 8 (- \frac{\csc^{2} (\frac{x}{2})}{2})$

解题步骤 1.1.1.3.7

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$8 - 8 \frac{\csc^{2} (\frac{x}{2})}{2}$

解题步骤 1.1.1.3.8

组合 $- 8$ 和 $\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2})}{2}$ 。

$8 + \frac{- 8 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{2}$

解题步骤 1.1.1.3.9

约去 $- 8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.9.1

从 $- 8 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 + \frac{2 (- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}))}{2}$

解题步骤 1.1.1.3.9.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.9.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 + \frac{2 (- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}))}{2 (1)}$

解题步骤 1.1.1.3.9.2.2

约去公因数。

$8 + \frac{2 (- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}))}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.1.3.9.2.3

重写表达式。

$8 + \frac{- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{1}$

解题步骤 1.1.1.3.9.2.4

用 $- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = 8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ 。

$8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = 0$

解题步骤 1.2.2

从等式两边同时减去 $8$ 。

$- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = - 8$

解题步骤 1.2.3

将 $- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = - 8$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = - 8$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{- 4} = \frac{- 8}{- 4}$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{- 4} = \frac{- 8}{- 4}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

用 $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ 除以 $1$ 。

$\csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{- 8}{- 4}$

解题步骤 1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.3.1

用 $- 8$ 除以 $- 4$ 。

$\csc^{2} (\frac{x}{2}) = 2$

解题步骤 1.2.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\csc (\frac{x}{2}) = \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\csc (\frac{x}{2}) = - \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\csc (\frac{x}{2}) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.6

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\csc (\frac{x}{2}) = \sqrt{2}$

$\csc (\frac{x}{2}) = - \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.7

在 $\csc (\frac{x}{2}) = \sqrt{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.7.1

取等式两边的反余割以从余割中提出 $x$ 。

$\frac{x}{2} = arccsc (\sqrt{2})$

解题步骤 1.2.7.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.7.2.1

$arccsc (\sqrt{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.7.3

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.7.4

化简方程的两边。

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解题步骤 1.2.7.4.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.7.4.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.7.4.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.7.4.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.7.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.7.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.7.4.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

解题步骤 1.2.7.4.2.1.2

约去公因数。

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.7.4.2.1.3

重写表达式。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.7.5

余割函数在第一和第二象限为正值。要求第二个解，应从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.7.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.7.6.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{4})$

解题步骤 1.2.7.6.2

化简方程的两边。

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解题步骤 1.2.7.6.2.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.7.6.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.7.6.2.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{4})$

解题步骤 1.2.7.6.2.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 (π - \frac{π}{4})$

解题步骤 1.2.7.6.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.7.6.2.2.1

化简 $2 (π - \frac{π}{4})$ 。

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解题步骤 1.2.7.6.2.2.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = 2 (π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4})$

解题步骤 1.2.7.6.2.2.1.2

化简项。

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解题步骤 1.2.7.6.2.2.1.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = 2 (\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4})$

解题步骤 1.2.7.6.2.2.1.2.2

在公分母上合并分子。

$x = 2 \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 1.2.7.6.2.2.1.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.7.6.2.2.1.2.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 2 \frac{π \cdot 4 - π}{2 (2)}$

解题步骤 1.2.7.6.2.2.1.2.3.2

约去公因数。

$x = 2 \frac{π \cdot 4 - π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.7.6.2.2.1.2.3.3

重写表达式。

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{2}$

解题步骤 1.2.7.6.2.2.1.3

化简分子。

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解题步骤 1.2.7.6.2.2.1.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π - π}{2}$

解题步骤 1.2.7.6.2.2.1.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.2.7.7

求 $\csc (\frac{x}{2})$ 的周期。

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解题步骤 1.2.7.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 1.2.7.7.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

解题步骤 1.2.7.7.3

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.2.7.7.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \cdot 2$

解题步骤 1.2.7.7.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 π$

解题步骤 1.2.7.8

$\csc (\frac{x}{2})$ 函数的周期为 $4 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $4 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 4 π n, \frac{3 π}{2} + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.8

在 $\csc (\frac{x}{2}) = - \sqrt{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.8.1

取等式两边的反余割以从余割中提出 $x$ 。

$\frac{x}{2} = arccsc (- \sqrt{2})$

解题步骤 1.2.8.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.8.2.1

$arccsc (- \sqrt{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.8.3

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.2.8.4

化简方程的两边。

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解题步骤 1.2.8.4.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.8.4.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.8.4.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.2.8.4.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.2.8.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.8.4.2.1

化简 $2 (- \frac{π}{4})$ 。

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解题步骤 1.2.8.4.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.8.4.2.1.1.1

将 $- \frac{π}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$x = 2 \frac{- π}{4}$

解题步骤 1.2.8.4.2.1.1.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 2 \frac{- π}{2 (2)}$

解题步骤 1.2.8.4.2.1.1.3

约去公因数。

$x = 2 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.8.4.2.1.1.4

重写表达式。

$x = \frac{- π}{2}$

解题步骤 1.2.8.4.2.1.2

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.8.5

余割函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{4} + π$

解题步骤 1.2.8.6

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 1.2.8.6.1

从 $2 π + \frac{π}{4} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

解题步骤 1.2.8.6.2

得出的角 $\frac{5 π}{4}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{4} + π$ 共边。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 1.2.8.6.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.8.6.3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{4}$

解题步骤 1.2.8.6.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 1.2.8.6.3.2.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.8.6.3.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.8.6.3.2.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{4}$

解题步骤 1.2.8.6.3.2.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 \frac{5 π}{4}$

解题步骤 1.2.8.6.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.8.6.3.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.8.6.3.2.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 2 \frac{5 π}{2 (2)}$

解题步骤 1.2.8.6.3.2.2.1.2

约去公因数。

$x = 2 \frac{5 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.8.6.3.2.2.1.3

重写表达式。

$x = \frac{5 π}{2}$

解题步骤 1.2.8.7

求 $\csc (\frac{x}{2})$ 的周期。

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解题步骤 1.2.8.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 1.2.8.7.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

解题步骤 1.2.8.7.3

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.2.8.7.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \cdot 2$

解题步骤 1.2.8.7.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 π$

解题步骤 1.2.8.8

将 $4 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 1.2.8.8.1

将 $4 π$ 加到 $- \frac{π}{2}$ 以求正角。

$- \frac{π}{2} + 4 π$

解题步骤 1.2.8.8.2

要将 $4 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$4 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.8.8.3

合并分数。

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解题步骤 1.2.8.8.3.1

组合 $4 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{4 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.8.8.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{4 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 1.2.8.8.4

化简分子。

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解题步骤 1.2.8.8.4.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8 π - π}{2}$

解题步骤 1.2.8.8.4.2

从 $8 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{7 π}{2}$

解题步骤 1.2.8.8.5

列出新角。

$x = \frac{7 π}{2}$

解题步骤 1.2.8.9

$\csc (\frac{x}{2})$ 函数的周期为 $4 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $4 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{5 π}{2} + 4 π n, \frac{7 π}{2} + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.9

列出所有解。

$x = \frac{π}{2} + 4 π n, \frac{3 π}{2} + 4 π n, \frac{5 π}{2} + 4 π n, \frac{7 π}{2} + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.10

合并答案。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

将 $\csc (\frac{x}{2})$ 的自变量设为等于 $π n$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\frac{x}{2} = π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π n)$

解题步骤 1.3.2.2

化简方程的两边。

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解题步骤 1.3.2.2.1

化简左边。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π n)$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 (π n)$

解题步骤 1.3.2.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.2.2.1

去掉圆括号。

$x = 2 π n$

解题步骤 1.3.3

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

${x | x = 2 π n}$ , $n$ ，对任何整数 $n$

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $8 x + 8 \cot (\frac{x}{2})$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = \frac{π}{2}$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $\frac{π}{2}$ 替换 $x$ 。

$8 (\frac{π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

解题步骤 1.4.1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (4) \frac{π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

约去公因数。

$2 \cdot 4 \frac{π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

重写表达式。

$4 π + 8 \cot (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

解题步骤 1.4.1.2.2

将分子乘以分母的倒数。

$4 π + 8 \cot (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 1.4.1.2.3

乘以 $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.3.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$4 π + 8 \cot (\frac{π}{2 \cdot 2})$

解题步骤 1.4.1.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 π + 8 \cot (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.1.2.4

$\cot (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$4 π + 8 \cdot 1$

解题步骤 1.4.1.2.5

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$4 π + 8$

解题步骤 1.4.2

在 $x = \frac{3 π}{2}$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $\frac{3 π}{2}$ 替换 $x$ 。

$8 (\frac{3 π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

解题步骤 1.4.2.2

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (4) \frac{3 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

约去公因数。

$2 \cdot 4 \frac{3 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

解题步骤 1.4.2.2.1.3

重写表达式。

$4 (3 π) + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

解题步骤 1.4.2.2.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 π + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

解题步骤 1.4.2.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$12 π + 8 \cot (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 1.4.2.2.4

乘以 $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.4.1

将 $\frac{3 π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$12 π + 8 \cot (\frac{3 π}{2 \cdot 2})$

解题步骤 1.4.2.2.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$12 π + 8 \cot (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 1.4.2.2.5

通过在第一象限中求出具有同样三角函数值的角来应用参考角。将表达式变为负，因为余切在第二象限为负。

$12 π + 8 (- \cot (\frac{π}{4}))$

解题步骤 1.4.2.2.6

$\cot (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$12 π + 8 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 1.4.2.2.7

乘以 $8 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$12 π + 8 \cdot - 1$

解题步骤 1.4.2.2.7.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$12 π - 8$

解题步骤 1.4.3

在 $x = \frac{5 π}{2}$ 处计算

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解题步骤 1.4.3.1

代入 $\frac{5 π}{2}$ 替换 $x$ 。

$8 (\frac{5 π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

解题步骤 1.4.3.2

化简每一项。

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解题步骤 1.4.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.2.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (4) \frac{5 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

解题步骤 1.4.3.2.1.2

约去公因数。

$2 \cdot 4 \frac{5 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

解题步骤 1.4.3.2.1.3

重写表达式。

$4 (5 π) + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

解题步骤 1.4.3.2.2

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$20 π + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

解题步骤 1.4.3.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$20 π + 8 \cot (\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 1.4.3.2.4

乘以 $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.3.2.4.1

将 $\frac{5 π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$20 π + 8 \cot (\frac{5 π}{2 \cdot 2})$

解题步骤 1.4.3.2.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$20 π + 8 \cot (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 1.4.3.2.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$20 π + 8 \cot (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.3.2.6

$\cot (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$20 π + 8 \cdot 1$

解题步骤 1.4.3.2.7

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$20 π + 8$

解题步骤 1.4.4

在 $x = \frac{7 π}{2}$ 处计算

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解题步骤 1.4.4.1

代入 $\frac{7 π}{2}$ 替换 $x$ 。

$8 (\frac{7 π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

解题步骤 1.4.4.2

化简每一项。

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解题步骤 1.4.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.4.2.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (4) \frac{7 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

解题步骤 1.4.4.2.1.2

约去公因数。

$2 \cdot 4 \frac{7 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

解题步骤 1.4.4.2.1.3

重写表达式。

$4 (7 π) + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

解题步骤 1.4.4.2.2

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$28 π + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

解题步骤 1.4.4.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$28 π + 8 \cot (\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 1.4.4.2.4

乘以 $\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.4.2.4.1

将 $\frac{7 π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$28 π + 8 \cot (\frac{7 π}{2 \cdot 2})$

解题步骤 1.4.4.2.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$28 π + 8 \cot (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 1.4.4.2.5

通过在第一象限中求出具有同样三角函数值的角来应用参考角。将表达式变为负，因为余切在第四象限为负。

$28 π + 8 (- \cot (\frac{π}{4}))$

解题步骤 1.4.4.2.6

$\cot (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$28 π + 8 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 1.4.4.2.7

乘以 $8 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 1.4.4.2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$28 π + 8 \cdot - 1$

解题步骤 1.4.4.2.7.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$28 π - 8$

解题步骤 1.4.5

在 $x = \frac{9 π}{2}$ 处计算

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解题步骤 1.4.5.1

代入 $\frac{9 π}{2}$ 替换 $x$ 。

$8 (\frac{9 π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

解题步骤 1.4.5.2

化简每一项。

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解题步骤 1.4.5.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.5.2.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (4) \frac{9 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

解题步骤 1.4.5.2.1.2

约去公因数。

$2 \cdot 4 \frac{9 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

解题步骤 1.4.5.2.1.3

重写表达式。

$4 (9 π) + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

解题步骤 1.4.5.2.2

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$36 π + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

解题步骤 1.4.5.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$36 π + 8 \cot (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 1.4.5.2.4

乘以 $\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.5.2.4.1

将 $\frac{9 π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$36 π + 8 \cot (\frac{9 π}{2 \cdot 2})$

解题步骤 1.4.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$36 π + 8 \cot (\frac{9 π}{4})$

解题步骤 1.4.5.2.5

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$36 π + 8 \cot (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.5.2.6

$\cot (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$36 π + 8 \cdot 1$

解题步骤 1.4.5.2.7

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$36 π + 8$

解题步骤 1.4.6

列出所有的点。

$(\frac{π}{2}, 4 π + 8), (\frac{3 π}{2}, 12 π - 8), (\frac{5 π}{2}, 20 π + 8), (\frac{7 π}{2}, 28 π - 8), (\frac{9 π}{2}, 36 π + 8)$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

$(\frac{π}{2}, 4 π + 8), (\frac{3 π}{2}, 12 π - 8)$

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在 $x = \frac{π}{4}$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入 $\frac{π}{4}$ 替换 $x$ 。

$8 (\frac{π}{4}) + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

解题步骤 3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (2) \frac{π}{4} + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

解题步骤 3.1.2.1.2

约去公因数。

$4 \cdot 2 \frac{π}{4} + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

解题步骤 3.1.2.1.3

重写表达式。

$2 π + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

解题步骤 3.1.2.2

将分子乘以分母的倒数。

$2 π + 8 \cot (\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 3.1.2.3

乘以 $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 3.1.2.3.1

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$2 π + 8 \cot (\frac{π}{4 \cdot 2})$

解题步骤 3.1.2.3.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$2 π + 8 \cot (\frac{π}{8})$

解题步骤 3.1.2.4

$\cot (\frac{π}{8})$ 的准确值为 $\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$ 。

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解题步骤 3.1.2.4.1

将 $\frac{π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$2 π + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

解题步骤 3.1.2.4.2

使用倒数恒等式。

$2 π + 8 \frac{1}{\tan (\frac{\frac{π}{4}}{2})}$

解题步骤 3.1.2.4.3

使用正切半角公式。

$2 π + 8 \frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

解题步骤 3.1.2.4.4

因为余切在第一象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5

化简 $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$ 。

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解题步骤 3.1.2.4.5.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.2.4.5.1.1

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.1.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.1.3

在公分母上合并分子。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.2

化简分母。

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解题步骤 3.1.2.4.5.2.1

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.2.3

在公分母上合并分子。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3

化简分母。

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解题步骤 3.1.2.4.5.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.4.5.3.2.1

约去公因数。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.2.2

重写表达式。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.3

将 $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ 。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.4

将 $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ 。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.5

使用 FOIL 方法来展开分母。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.6

化简。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.7

运用分配律。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.4.5.3.8.1

约去公因数。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.8.2

重写表达式。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.9

组合 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.10

求公分母。

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解题步骤 3.1.2.4.5.3.10.1

将 $2$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.10.2

将 $\frac{2}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.10.3

将 $\frac{2}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.10.4

将 $- \sqrt{2}$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.10.5

将 $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.10.6

将 $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2} \cdot 2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.11

在公分母上合并分子。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.12

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.4.5.3.12.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.12.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.12.3

运用分配律。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 1 \cdot 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.12.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.12.5

乘以 $- - \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 3.1.2.4.5.3.12.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + 1 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.12.5.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.12.6

运用分配律。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.12.7

使用根数乘积法则进行合并。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.12.8

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.4.5.3.12.8.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.12.8.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.12.8.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.13

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.14

从 $- 2 \sqrt{2}$ 中减去 $2 \sqrt{2}$ 。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 4 \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.15

约去 $6 - 4 \sqrt{2}$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.4.5.3.15.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.15.2

从 $- 4 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 2 \sqrt{2})}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.15.3

从 $2 (3) + 2 (- 2 \sqrt{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.15.4

约去公因数。

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解题步骤 3.1.2.4.5.3.15.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.15.4.2

约去公因数。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.15.4.3

重写表达式。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{1}}}$

解题步骤 3.1.2.4.5.3.15.4.4

用 $3 - 2 \sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 3.1.2.5

组合 $8$ 和 $\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$ 。

$2 π + \frac{8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 3.2

在 $x = \frac{7 π}{4}$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入 $\frac{7 π}{4}$ 替换 $x$ 。

$8 (\frac{7 π}{4}) + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

解题步骤 3.2.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (2) \frac{7 π}{4} + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

解题步骤 3.2.2.1.2

约去公因数。

$4 \cdot 2 \frac{7 π}{4} + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

解题步骤 3.2.2.1.3

重写表达式。

$2 (7 π) + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

解题步骤 3.2.2.2

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$14 π + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

解题步骤 3.2.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$14 π + 8 \cot (\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 3.2.2.4

乘以 $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 3.2.2.4.1

将 $\frac{7 π}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$14 π + 8 \cot (\frac{7 π}{4 \cdot 2})$

解题步骤 3.2.2.4.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$14 π + 8 \cot (\frac{7 π}{8})$

解题步骤 3.2.2.5

$\cot (\frac{7 π}{8})$ 的准确值为 $- \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$ 。

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解题步骤 3.2.2.5.1

将 $\frac{7 π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$14 π + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

解题步骤 3.2.2.5.2

使用倒数恒等式。

$14 π + 8 \frac{1}{\tan (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})}$

解题步骤 3.2.2.5.3

使用正切半角公式。

$14 π + 8 \frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}}$

解题步骤 3.2.2.5.4

由于余切在第二象限中为负，所以将 $\pm$ 变为 $-$ 。

$14 π + 8 \frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}}$

解题步骤 3.2.2.5.5

化简 $\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}}$ 。

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解题步骤 3.2.2.5.5.1

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.5.5.1.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$14 π + 8 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}}$

解题步骤 3.2.2.5.5.1.2

将负号移到分数的前面。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.2

化简分子。

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解题步骤 3.2.2.5.5.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.2.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.2.4

在公分母上合并分子。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.3

化简分母。

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解题步骤 3.2.2.5.5.3.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.3.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.3.4

在公分母上合并分子。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4

化简分母。

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解题步骤 3.2.2.5.5.4.1

将分子乘以分母的倒数。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.5.5.4.2.1

约去公因数。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.2.2

重写表达式。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.3

将 $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ 。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.4

将 $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ 。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.5

使用 FOIL 方法来展开分母。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.6

化简。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.7

运用分配律。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.5.5.4.8.1

约去公因数。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.8.2

重写表达式。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.9

组合 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.10

求公分母。

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解题步骤 3.2.2.5.5.4.10.1

将 $2$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.10.2

将 $\frac{2}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.10.3

将 $\frac{2}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.10.4

将 $- \sqrt{2}$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.10.5

将 $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.10.6

将 $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2} \cdot 2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.11

在公分母上合并分子。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.12

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.5.5.4.12.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.12.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.12.3

运用分配律。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 1 \cdot 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.12.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.12.5

乘以 $- - \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 3.2.2.5.5.4.12.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + 1 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.12.5.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.12.6

运用分配律。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.12.7

使用根数乘积法则进行合并。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.12.8

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.5.5.4.12.8.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.12.8.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.12.8.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.13

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.14

从 $- 2 \sqrt{2}$ 中减去 $2 \sqrt{2}$ 。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 4 \sqrt{2}}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.15

约去 $6 - 4 \sqrt{2}$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.5.5.4.15.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.15.2

从 $- 4 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 2 \sqrt{2})}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.15.3

从 $2 (3) + 2 (- 2 \sqrt{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.15.4

约去公因数。

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解题步骤 3.2.2.5.5.4.15.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.15.4.2

约去公因数。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.15.4.3

重写表达式。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{1}}})$

解题步骤 3.2.2.5.5.4.15.4.4

用 $3 - 2 \sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}})$

解题步骤 3.2.2.6

乘以 $8 (- \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}})$ 。

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解题步骤 3.2.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$14 π - 8 \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 3.2.2.6.2

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$ 。

$14 π + \frac{- 8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 3.2.2.7

将负号移到分数的前面。

$14 π - \frac{8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

$(\frac{π}{4}, 2 π + \frac{8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}), (\frac{7 π}{4}, 14 π - \frac{8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}})$

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(\frac{3 π}{2}, 12 π - 8)$

最小绝对值： $(\frac{π}{2}, 4 π + 8)$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例