微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 49}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 49}$ 重写成 ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 49$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 49$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

解题步骤 1.2.3

使用 $x^{2} + 49$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

解题步骤 1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

解题步骤 1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

解题步骤 1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

解题步骤 1.6

化简分子。

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解题步骤 1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

解题步骤 1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

解题步骤 1.7

合并分数。

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解题步骤 1.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

解题步骤 1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

解题步骤 1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

解题步骤 1.8

根据加法法则， $x^{2} + 49$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49])$

解题步骤 1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [49])$

解题步骤 1.10

因为 $49$ 对于 $x$ 是常数，所以 $49$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

解题步骤 1.11

化简项。

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解题步骤 1.11.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

解题步骤 1.11.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} x$

解题步骤 1.11.3

组合 $\frac{2}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.11.4

约去公因数。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.11.5

重写表达式。

$\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 ${({(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.2.2

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.3

化简。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.4.2

将 ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 49$ 。

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解题步骤 2.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 49$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.5.3

使用 $x^{2} + 49$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.8

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.9

化简分子。

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解题步骤 2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.10

合并分数。

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解题步骤 2.10.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.10.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.10.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.10.4

组合 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 49)}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.11

根据加法法则， $x^{2} + 49$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (49))}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (49))}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.13

因为 $49$ 对于 $x$ 是常数，所以 $49$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.14

合并分数。

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解题步骤 2.14.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.14.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.14.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.14.4

组合 $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.16

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.18

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.19

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.20

约去公因数。

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解题步骤 2.20.1

从 $2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.20.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.20.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.21

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.22

要将 ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.23

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.24

通过指数相加将 ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.24.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.24.2

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.24.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.24.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 49) - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.25

化简 ${(x^{2} + 49)}^{1}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 49 - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.26

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{0 + 49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.27

将 $0$ 和 $49$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.28

将 $\frac{\frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2.29

将 $\frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} + 49}$ 。

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 49)}$

解题步骤 2.30

通过指数相加将 ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} + 49$ 。

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解题步骤 2.30.1

将 ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} + 49$ 。

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解题步骤 2.30.1.1

对 $x^{2} + 49$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 49)}$

解题步骤 2.30.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 2.30.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.30.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 2.30.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 49}$ 重写成 ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 49$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 49$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

解题步骤 4.1.2.3

使用 $x^{2} + 49$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

解题步骤 4.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

解题步骤 4.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

解题步骤 4.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

解题步骤 4.1.6

化简分子。

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解题步骤 4.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

解题步骤 4.1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

解题步骤 4.1.7

合并分数。

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解题步骤 4.1.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

解题步骤 4.1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

解题步骤 4.1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

解题步骤 4.1.8

根据加法法则， $x^{2} + 49$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49])$

解题步骤 4.1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [49])$

解题步骤 4.1.10

因为 $49$ 对于 $x$ 是常数，所以 $49$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

解题步骤 4.1.11

化简项。

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解题步骤 4.1.11.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

解题步骤 4.1.11.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} x$

解题步骤 4.1.11.3

组合 $\frac{2}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.11.4

约去公因数。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.11.5

重写表达式。

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$x = 0$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{49}{{({(0)}^{2} + 49)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简分母。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{49}{{(0 + 49)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.2

将 $0$ 和 $49$ 相加。

$\frac{49}{49^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.3

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$\frac{49}{{(7^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{49}{7^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 9.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.5.1

约去公因数。

$\frac{49}{7^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 9.1.5.2

重写表达式。

$\frac{49}{7^{3}}$

解题步骤 9.1.6

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{49}{343}$

解题步骤 9.2

约去 $49$ 和 $343$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1

从 $49$ 中分解出因数 $49$ 。

$\frac{49 (1)}{343}$

解题步骤 9.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.2.1

从 $343$ 中分解出因数 $49$ 。

$\frac{49 \cdot 1}{49 \cdot 7}$

解题步骤 9.2.2.2

约去公因数。

$\frac{49 \cdot 1}{49 \cdot 7}$

解题步骤 9.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{7}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 0$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \sqrt{{(0)}^{2} + 49}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \sqrt{0 + 49}$

解题步骤 11.2.2

将 $0$ 和 $49$ 相加。

$f (0) = \sqrt{49}$

解题步骤 11.2.3

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$f (0) = \sqrt{7^{2}}$

解题步骤 11.2.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (0) = 7$

解题步骤 11.2.5

最终答案为 $7$ 。

$y = 7$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 49}$ 的局部极值。

$(0, 7)$ 是一个局部最小值

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例