微积分学示例

$f (x) = \sin (x) \cos (x) + 7$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\sin (x) \cos (x) + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.2.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.2.4

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.2.5

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.2.8

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.2.9

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.2.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.2.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.3

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 0$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

将 $- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ 和 $0$ 相加。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

解题步骤 1.4.2

将 $- \sin^{2} (x)$ 和 $\cos^{2} (x)$ 重新排序。

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

解题步骤 1.4.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos (x)$ 和 $b = \sin (x)$ 。

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 1.4.4

使用 FOIL 方法展开 $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ 。

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解题步骤 1.4.4.1

运用分配律。

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 1.4.4.2

运用分配律。

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 1.4.4.3

运用分配律。

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 1.4.5

合并 $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ 中相反的项。

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解题步骤 1.4.5.1

按照 $\cos (x) (- \sin (x))$ 和 $\sin (x) \cos (x)$ 重新排列因数。

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 1.4.5.2

将 $- \cos (x) \sin (x)$ 和 $\cos (x) \sin (x)$ 相加。

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 1.4.5.3

将 $\cos (x) \cos (x)$ 和 $0$ 相加。

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 1.4.6

化简每一项。

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解题步骤 1.4.6.1

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.4.6.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 1.4.6.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 1.4.6.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 1.4.6.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 1.4.6.2

使用乘法的交换性质重写。

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

解题步骤 1.4.6.3

乘以 $- \sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.4.6.3.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

解题步骤 1.4.6.3.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

解题步骤 1.4.6.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

解题步骤 1.4.6.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

解题步骤 1.4.7

使用余弦倍角公式。

$\cos (2 x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 2.1.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$f'' (x) = - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 2.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} x$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \cdot 1$

解题步骤 2.2.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\cos (2 x) = 0$

解题步骤 4

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$2 x = \arccos (0)$

解题步骤 5

化简右边。

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解题步骤 5.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$2 x = \frac{π}{2}$

解题步骤 6

将 $2 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.1

将 $2 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 6.3.2

乘以 $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 7

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 8

求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 8.1.2

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 8.1.3

在公分母上合并分子。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 8.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 8.1.5

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$2 x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 8.2

将 $2 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $2 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 8.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 8.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 8.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 8.2.3.2

乘以 $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 8.2.3.2.1

将 $\frac{3 π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 9

方程 $2 x = \frac{π}{2}$ 的解。

$x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

解题步骤 10

计算在 $x = \frac{π}{4}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 2 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

解题步骤 11

计算二阶导数。

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解题步骤 11.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

解题步骤 11.1.2

约去公因数。

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

解题步骤 11.1.3

重写表达式。

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 11.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 11.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 12

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{π}{4}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{π}{4}$ 是一个极大值

解题步骤 13

求 $x = \frac{π}{4}$ 时的 y 值。

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解题步骤 13.1

使用表达式中的 $\frac{π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4}) + 7$

解题步骤 13.2

化简结果。

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解题步骤 13.2.1

化简每一项。

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解题步骤 13.2.1.1

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) + 7$

解题步骤 13.2.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 7$

解题步骤 13.2.1.3

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 13.2.1.3.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

解题步骤 13.2.1.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

解题步骤 13.2.1.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

解题步骤 13.2.1.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + 7$

解题步骤 13.2.1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + 7$

解题步骤 13.2.1.3.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + 7$

解题步骤 13.2.1.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 13.2.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 7$

解题步骤 13.2.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 7$

解题步骤 13.2.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

解题步骤 13.2.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1.4.4.1

约去公因数。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

解题步骤 13.2.1.4.4.2

重写表达式。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2}{4} + 7$

解题步骤 13.2.1.4.5

计算指数。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2}{4} + 7$

解题步骤 13.2.1.5

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1.5.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (1)}{4} + 7$

解题步骤 13.2.1.5.2

约去公因数。

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解题步骤 13.2.1.5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

解题步骤 13.2.1.5.2.2

约去公因数。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

解题步骤 13.2.1.5.2.3

重写表达式。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} + 7$

解题步骤 13.2.2

要将 $7$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 13.2.3

组合 $7$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}$

解题步骤 13.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1 + 7 \cdot 2}{2}$

解题步骤 13.2.5

化简分子。

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解题步骤 13.2.5.1

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1 + 14}{2}$

解题步骤 13.2.5.2

将 $1$ 和 $14$ 相加。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{15}{2}$

解题步骤 13.2.6

最终答案为 $\frac{15}{2}$ 。

$y = \frac{15}{2}$

解题步骤 14

计算在 $x = \frac{3 π}{4}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 2 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

解题步骤 15

计算二阶导数。

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解题步骤 15.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)})$

解题步骤 15.1.2

约去公因数。

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

解题步骤 15.1.3

重写表达式。

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 15.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 15.3

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 15.4

乘以 $- 2 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 15.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 \cdot - 1$

解题步骤 15.4.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$2$

解题步骤 16

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{3 π}{4}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{3 π}{4}$ 是一个极小值

解题步骤 17

求 $x = \frac{3 π}{4}$ 时的 y 值。

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解题步骤 17.1

使用表达式中的 $\frac{3 π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 7$

解题步骤 17.2

化简结果。

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解题步骤 17.2.1

化简每一项。

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解题步骤 17.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 7$

解题步骤 17.2.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{3 π}{4}) + 7$

解题步骤 17.2.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4})) + 7$

解题步骤 17.2.1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 7$

解题步骤 17.2.1.5

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 。

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解题步骤 17.2.1.5.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

解题步骤 17.2.1.5.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

解题步骤 17.2.1.5.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

解题步骤 17.2.1.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + 7$

解题步骤 17.2.1.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + 7$

解题步骤 17.2.1.5.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + 7$

解题步骤 17.2.1.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 17.2.1.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 7$

解题步骤 17.2.1.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 7$

解题步骤 17.2.1.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

解题步骤 17.2.1.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.2.1.6.4.1

约去公因数。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

解题步骤 17.2.1.6.4.2

重写表达式。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2}{4} + 7$

解题步骤 17.2.1.6.5

计算指数。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2}{4} + 7$

解题步骤 17.2.1.7

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 17.2.1.7.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 (1)}{4} + 7$

解题步骤 17.2.1.7.2

约去公因数。

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解题步骤 17.2.1.7.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

解题步骤 17.2.1.7.2.2

约去公因数。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

解题步骤 17.2.1.7.2.3

重写表达式。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2} + 7$

解题步骤 17.2.2

要将 $7$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 17.2.3

组合 $7$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}$

解题步骤 17.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1 + 7 \cdot 2}{2}$

解题步骤 17.2.5

化简分子。

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解题步骤 17.2.5.1

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1 + 14}{2}$

解题步骤 17.2.5.2

将 $- 1$ 和 $14$ 相加。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{13}{2}$

解题步骤 17.2.6

最终答案为 $\frac{13}{2}$ 。

$y = \frac{13}{2}$

解题步骤 18

这些是 $f (x) = \sin (x) \cos (x) + 7$ 的局部极值。

$(\frac{π}{4}, \frac{15}{2})$ 是一个局部最大值

$(\frac{3 π}{4}, \frac{13}{2})$ 是一个局部最小值

解题步骤 19

微积分学 示例

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