微积分学示例

$\frac{d}{d v} (v^{2} (2 \sqrt{v} + 1))$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d \cdot d} [f (d) g (d)]$ 等于 $f (d) \frac{d}{d \cdot d} [g (d)] + g (d) \frac{d}{d \cdot d} [f (d)]$ ，其中 $f (d) = v^{2}$ 且 $g (d) = 2 \sqrt{v} + 1$ 。

$v^{2} \frac{d}{d \cdot d} [2 \sqrt{v} + 1] + (2 \sqrt{v} + 1) \frac{d}{d \cdot d} [v^{2}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 \sqrt{v} + 1$ 对 $d$ 的导数是 $\frac{d}{d \cdot d} [2 \sqrt{v}] + \frac{d}{d \cdot d} [1]$ 。

$v^{2} (\frac{d}{d \cdot d} [2 \sqrt{v}] + \frac{d}{d \cdot d} [1]) + (2 \sqrt{v} + 1) \frac{d}{d \cdot d} [v^{2}]$

解题步骤 2.2

因为 $2 \sqrt{v}$ 对于 $d$ 是常数，所以 $2 \sqrt{v}$ 对 $d$ 的导数为 $0$ 。

$v^{2} (0 + \frac{d}{d \cdot d} [1]) + (2 \sqrt{v} + 1) \frac{d}{d \cdot d} [v^{2}]$

解题步骤 2.3

因为 $1$ 对于 $d$ 是常数，所以 $1$ 对 $d$ 的导数为 $0$ 。

$v^{2} (0 + 0) + (2 \sqrt{v} + 1) \frac{d}{d \cdot d} [v^{2}]$

解题步骤 2.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$v^{2} \cdot 0 + (2 \sqrt{v} + 1) \frac{d}{d \cdot d} [v^{2}]$

解题步骤 2.5

因为 $v^{2}$ 对于 $d$ 是常数，所以 $v^{2}$ 对 $d$ 的导数为 $0$ 。

$v^{2} \cdot 0 + (2 \sqrt{v} + 1) \cdot 0$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$v^{2} \cdot 0 + 2 \sqrt{v} \cdot 0 + 1 \cdot 0$

解题步骤 3.2

合并项。

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解题步骤 3.2.1

将 $v^{2}$ 乘以 $0$ 。

$0 + 2 \sqrt{v} \cdot 0 + 1 \cdot 0$

解题步骤 3.2.2

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$0 + 0 \sqrt{v} + 1 \cdot 0$

解题步骤 3.2.3

将 $0$ 乘以 $\sqrt{v}$ 。

$0 + 0 + 1 \cdot 0$

解题步骤 3.2.4

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0 + 0 + 0$

解题步骤 3.2.5

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 0$

解题步骤 3.2.6

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

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