微积分学示例

$g (x) = 3 {(x^{3} - 6)}^{2} {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 3 {(x^{3} - 6)}^{2}$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10}$ 。

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4 x - 6)}^{10}] + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{10}$ 且 $g (x) = x^{2} + 4 x - 6$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2} + 4 x - 6$ 。

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{10}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 6]) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 10$ 。

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {u_{1}}^{9} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 6]) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

解题步骤 2.3

使用 $x^{2} + 4 x - 6$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 6]) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{2} + 4 x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

解题步骤 3.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

解题步骤 3.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 6])) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

解题步骤 3.6

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4 + 0)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

解题步骤 3.7

将 $2 x + 4$ 和 $0$ 相加。

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

解题步骤 3.8

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 {(x^{3} - 6)}^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]$ 。

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (3 \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{3} - 6$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{3} - 6$ 。

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (3 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))$

解题步骤 4.3

使用 $x^{3} - 6$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (3 (2 (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (6 ((x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))$

解题步骤 5.2

根据加法法则， $x^{3} - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (6 (x^{3} - 6) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]))$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (6 (x^{3} - 6) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6]))$

解题步骤 5.4

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (6 (x^{3} - 6) (3 x^{2} + 0))$

解题步骤 5.5

化简表达式。

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解题步骤 5.5.1

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (6 (x^{3} - 6) (3 x^{2}))$

解题步骤 5.5.2

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 (x^{3} - 6) x^{2})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} ((18 x^{3} + 18 \cdot - 6) x^{2})$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 x^{3} x^{2} + 18 \cdot - 6 x^{2})$

解题步骤 6.3

合并项。

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解题步骤 6.3.1

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 (x^{2} x^{3}) + 18 \cdot - 6 x^{2})$

解题步骤 6.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 x^{2 + 3} + 18 \cdot - 6 x^{2})$

解题步骤 6.3.1.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 x^{5} + 18 \cdot - 6 x^{2})$

解题步骤 6.3.2

将 $18$ 乘以 $- 6$ 。

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 x^{5} - 108 x^{2})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $10$ 乘以 $3$ 。

$30 {(x^{3} - 6)}^{2} ({(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 x^{5} - 108 x^{2})$

解题步骤 7.2

从 $30 {(x^{3} - 6)}^{2} ({(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 x^{5} - 108 x^{2})$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 4 x - 6)}^{9}$ 。

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解题步骤 7.2.1

从 $30 {(x^{3} - 6)}^{2} ({(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4))$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 4 x - 6)}^{9}$ 。

${(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (30 {(x^{3} - 6)}^{2} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 x^{5} - 108 x^{2})$

解题步骤 7.2.2

从 ${(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 x^{5} - 108 x^{2})$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 4 x - 6)}^{9}$ 。

${(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (30 {(x^{3} - 6)}^{2} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} ((x^{2} + 4 x - 6) (18 x^{5} - 108 x^{2}))$

解题步骤 7.2.3

从 ${(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (30 {(x^{3} - 6)}^{2} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} ((x^{2} + 4 x - 6) (18 x^{5} - 108 x^{2}))$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 4 x - 6)}^{9}$ 。

${(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (30 {(x^{3} - 6)}^{2} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x - 6) (18 x^{5} - 108 x^{2}))$

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