微积分学示例

$f (x) = (3 x - 5) (\sqrt{x} + 3)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 3 x - 5$ 且 $g (x) = \sqrt{x} + 3$ 。

$(3 x - 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x} + 3] + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

解题步骤 2

根据加法法则， $\sqrt{x} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$(3 x - 5) (\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$(3 x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

解题步骤 3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

解题步骤 3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

解题步骤 3.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

解题步骤 4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

解题步骤 5.2

合并项。

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解题步骤 5.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$(3 x - 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

解题步骤 5.2.2

将 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

解题步骤 6

根据加法法则， $3 x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 7

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 7.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 7.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 8

使用常数法则求导。

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解题步骤 8.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) (3 + 0)$

解题步骤 8.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) \cdot 3$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) \cdot 3$

解题步骤 9.2

运用分配律。

$3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

解题步骤 9.3

合并项。

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解题步骤 9.3.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$x \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

解题步骤 9.3.2

组合 $x$ 和 $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

解题步骤 9.3.3

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

解题步骤 9.3.4

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

解题步骤 9.3.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 9.3.5.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

解题步骤 9.3.5.2

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 9.3.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

解题步骤 9.3.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

解题步骤 9.3.5.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

解题步骤 9.3.5.4

在公分母上合并分子。

$\frac{3 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

解题步骤 9.3.5.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

解题步骤 9.3.6

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

解题步骤 9.3.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

解题步骤 9.3.8

将 $3$ 移到 $\sqrt{x}$ 的左侧。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot \sqrt{x} + 3 \cdot 3$

解题步骤 9.3.9

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{x} + 9$

解题步骤 9.4

重新排序项。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 9 - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{x}$

微积分学 示例

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