微积分学示例

$\frac{d}{d t} (t^{2} + 1) (t + 9)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t^{2} + 1$ 且 $g (t) = t + 9$ 。

$(t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t + 9] + (t + 9) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $t + 9$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9]$ 。

$(t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9]) + (t + 9) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(t^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d t} [9]) + (t + 9) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

解题步骤 2.3

因为 $9$ 对于 $t$ 是常数，所以 $9$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$(t^{2} + 1) (1 + 0) + (t + 9) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

解题步骤 2.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(t^{2} + 1) \cdot 1 + (t + 9) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $t^{2} + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$(t^{2} + 1) \cdot 1 + (t + 9) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(t^{2} + 1) \cdot 1 + (t + 9) (2 t + \frac{d}{d t} [1])$

解题步骤 2.7

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$(t^{2} + 1) \cdot 1 + (t + 9) (2 t + 0)$

解题步骤 2.8

将 $2 t$ 和 $0$ 相加。

$(t^{2} + 1) \cdot 1 + (t + 9) (2 t)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$t^{2} \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (t + 9) (2 t)$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$t^{2} \cdot 1 + 1 \cdot 1 + t (2 t) + 9 (2 t)$

解题步骤 3.3

合并项。

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解题步骤 3.3.1

将 $t^{2}$ 乘以 $1$ 。

$t^{2} + 1 \cdot 1 + t (2 t) + 9 (2 t)$

解题步骤 3.3.2

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$t^{2} + 1 + t (2 t) + 9 (2 t)$

解题步骤 3.3.3

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$t^{2} + 1 + 2 (t^{1} t) + 9 (2 t)$

解题步骤 3.3.4

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$t^{2} + 1 + 2 (t^{1} t^{1}) + 9 (2 t)$

解题步骤 3.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$t^{2} + 1 + 2 t^{1 + 1} + 9 (2 t)$

解题步骤 3.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$t^{2} + 1 + 2 t^{2} + 9 (2 t)$

解题步骤 3.3.7

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$t^{2} + 1 + 2 t^{2} + 18 t$

解题步骤 3.3.8

将 $t^{2}$ 和 $2 t^{2}$ 相加。

$3 t^{2} + 1 + 18 t$

解题步骤 3.4

重新排序项。

$3 t^{2} + 18 t + 1$

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