微积分学示例

$y = {(4 x - 3)}^{2} {(4 - x^{5})}^{4}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(4 x - 3)}^{2}$ 且 $g (x) = {(4 - x^{5})}^{4}$ 。

${(4 x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{5})}^{4}] + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = 4 - x^{5}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 - x^{5}$ 。

${(4 x - 3)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [4 - x^{5}]) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

${(4 x - 3)}^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [4 - x^{5}]) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

解题步骤 2.3

使用 $4 - x^{5}$ 替换所有出现的 $u$ 。

${(4 x - 3)}^{2} (4 {(4 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [4 - x^{5}]) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $4 - x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ 。

${(4 x - 3)}^{2} (4 {(4 - x^{5})}^{3} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

解题步骤 3.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

${(4 x - 3)}^{2} (4 {(4 - x^{5})}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{5}])) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ 相加。

${(4 x - 3)}^{2} (4 {(4 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

解题步骤 3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

${(4 x - 3)}^{2} (4 {(4 - x^{5})}^{3} (- \frac{d}{d x} [x^{5}])) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

解题步骤 3.5

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

${(4 x - 3)}^{2} (- 4 {(4 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

${(4 x - 3)}^{2} (- 4 {(4 - x^{5})}^{3} (5 x^{4})) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

解题步骤 3.7

化简表达式。

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解题步骤 3.7.1

将 $5$ 乘以 $- 4$ 。

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 {(4 - x^{5})}^{3} x^{4}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

解题步骤 3.7.2

重新排序 $- 20 {(4 - x^{5})}^{3} x^{4}$ 的因式。

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

解题步骤 3.7.3

将 ${(4 x - 3)}^{2}$ 重写为 $(4 x - 3) (4 x - 3)$ 。

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [(4 x - 3) (4 x - 3)]$

解题步骤 4

使用 FOIL 方法展开 $(4 x - 3) (4 x - 3)$ 。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [4 x (4 x - 3) - 3 (4 x - 3)]$

解题步骤 4.2

运用分配律。

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x - 3)]$

解题步骤 4.3

运用分配律。

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3]$

解题步骤 5

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

使用乘法的交换性质重写。

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3]$

解题步骤 5.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

移动 $x$ 。

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3]$

解题步骤 5.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3]$

解题步骤 5.1.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3]$

解题步骤 5.1.4

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 12 x - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3]$

解题步骤 5.1.5

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 12 x - 12 x - 3 \cdot - 3]$

解题步骤 5.1.6

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 12 x - 12 x + 9]$

解题步骤 5.2

从 $- 12 x$ 中减去 $12 x$ 。

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 24 x + 9]$

解题步骤 6

根据加法法则， $16 x^{2} - 24 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 7

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 9

将 $2$ 乘以 $16$ 。

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 10

因为 $- 24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 24 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ 。

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 12

将 $- 24$ 乘以 $1$ 。

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24 + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 13

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24 + 0)$

解题步骤 14

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 14.1

将 $32 x - 24$ 和 $0$ 相加。

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24)$

解题步骤 14.2

从 ${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24)$ 中分解出因数 ${(4 - x^{5})}^{3}$ 。

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解题步骤 14.2.1

从 ${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3})$ 中分解出因数 ${(4 - x^{5})}^{3}$ 。

${(4 - x^{5})}^{3} ({(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4})) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24)$

解题步骤 14.2.2

从 ${(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24)$ 中分解出因数 ${(4 - x^{5})}^{3}$ 。

${(4 - x^{5})}^{3} ({(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4})) + {(4 - x^{5})}^{3} ((4 - x^{5}) (32 x - 24))$

解题步骤 14.2.3

从 ${(4 - x^{5})}^{3} ({(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4})) + {(4 - x^{5})}^{3} ((4 - x^{5}) (32 x - 24))$ 中分解出因数 ${(4 - x^{5})}^{3}$ 。

${(4 - x^{5})}^{3} ({(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4}) + (4 - x^{5}) (32 x - 24))$

微积分学 示例

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