微积分学示例

$\frac{e^{x}}{x^{n}}$

解题步骤 1

该导数无法用乘积法则求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{n}$ 。

$\frac{x^{n} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{n}]}{{(x^{n})}^{2}}$

解题步骤 3

将 ${(x^{n})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{n} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{n}]}{x^{n \cdot 2}}$

解题步骤 3.2

将 $2$ 移到 $n$ 的左侧。

$\frac{x^{n} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{n}]}{x^{2 n}}$

解题步骤 4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{x^{n} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{n}]}{x^{2 n}}$

解题步骤 5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = n$ 。

$\frac{x^{n} e^{x} - e^{x} (n x^{n - 1})}{x^{2 n}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $x^{n} e^{x} - e^{x} (n x^{n - 1})$ 中的因式重新排序。

$\frac{x^{n} e^{x} - n e^{x} x^{n - 1}}{x^{2 n}}$

解题步骤 6.2

重新排序项。

$\frac{e^{x} x^{n} - e^{x} x^{n - 1} n}{x^{2 n}}$

解题步骤 6.3

从 $e^{x} x^{n} - e^{x} x^{n - 1} n$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 6.3.1

从 $e^{x} x^{n}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (x^{n}) - e^{x} x^{n - 1} n}{x^{2 n}}$

解题步骤 6.3.2

从 $- e^{x} x^{n - 1} n$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (x^{n}) + e^{x} (- x^{n - 1} n)}{x^{2 n}}$

解题步骤 6.3.3

从 $e^{x} (x^{n}) + e^{x} (- x^{n - 1} n)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (x^{n} - x^{n - 1} n)}{x^{2 n}}$

解题步骤 6.4

将 $\frac{e^{x} (x^{n} - x^{n - 1} n)}{x^{2 n}}$ 中的因式重新排序。

$\frac{e^{x} (x^{n} - n x^{n - 1})}{x^{2 n}}$

微积分学 示例

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