微积分学示例

$\sum_{i = 3}^{10} \sqrt{3} \cdot \frac{i}{2}$

解题步骤 1

分解总和使 $i$ 的初始值等于 $1$ 。

$\sum_{i = 3}^{10} \frac{\sqrt{3} i}{2} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{\sqrt{3} i}{2} - \sum_{i = 1}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2}$

解题步骤 2

计算 $\sum_{i = 1}^{10} \frac{\sqrt{3} i}{2}$ 。

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解题步骤 2.1

从总和中因式分解出 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2} \sum_{k = 1}^{10} i$

解题步骤 2.2

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 2.3

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(\frac{\sqrt{3}}{2}) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1.1

将 $10$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{10 \cdot 11}{2}$

解题步骤 2.4.1.2

将 $10$ 乘以 $11$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{110}{2}$

解题步骤 2.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1

从 $110$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 (55)}{2}$

解题步骤 2.4.2.2

约去公因数。

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 \cdot 55}{2}$

解题步骤 2.4.2.3

重写表达式。

$\sqrt{3} \frac{55}{2}$

解题步骤 2.4.3

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{55}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} \cdot 55}{2}$

解题步骤 2.4.4

将 $55$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$\frac{55 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3

计算 $\sum_{i = 1}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2}$ 。

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解题步骤 3.1

展开 $i$ 每个取值的序列。

$\frac{\sqrt{3} \cdot 1}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.2.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.2.2.2

将 $2$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.2.3

将 $\sqrt{3}$ 和 $2 \sqrt{3}$ 相加。

$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4

用求得的值替换总和。

$\frac{55 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

在公分母上合并分子。

$\frac{55 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.2

从 $55 \sqrt{3}$ 中减去 $3 \sqrt{3}$ 。

$\frac{52 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.3

约去 $52$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

从 $52 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (26 \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 5.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (26 \sqrt{3})}{2 (1)}$

解题步骤 5.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (26 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.2.3

重写表达式。

$\frac{26 \sqrt{3}}{1}$

解题步骤 5.3.2.4

用 $26 \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$26 \sqrt{3}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$26 \sqrt{3}$

小数形式：

$45.03332099 \dots$

微积分学 示例

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