微积分学示例

$\sum_{x = 1}^{4} {(x - 1)}^{2} + {(x + 1)}^{3}$

解题步骤 1

化简总和。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$(x - 1) (x - 1) + {(x + 1)}^{3}$

解题步骤 1.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

运用分配律。

$x (x - 1) - 1 (x - 1) + {(x + 1)}^{3}$

解题步骤 1.1.2.2

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + {(x + 1)}^{3}$

解题步骤 1.1.2.3

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

解题步骤 1.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

解题步骤 1.1.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

解题步骤 1.1.3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

解题步骤 1.1.3.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

解题步骤 1.1.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} - x - x + 1 + {(x + 1)}^{3}$

解题步骤 1.1.3.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$x^{2} - 2 x + 1 + {(x + 1)}^{3}$

解题步骤 1.1.4

使用二项式定理。

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}$

解题步骤 1.1.5

化简每一项。

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解题步骤 1.1.5.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}$

解题步骤 1.1.5.2

一的任意次幂都为一。

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{3}$

解题步骤 1.1.5.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1^{3}$

解题步骤 1.1.5.4

一的任意次幂都为一。

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$

解题步骤 1.2

将 $x^{2}$ 和 $3 x^{2}$ 相加。

$4 x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x + 1$

解题步骤 1.3

将 $- 2 x$ 和 $3 x$ 相加。

$4 x^{2} + x + 1 + x^{3} + 1$

解题步骤 1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 x^{2} + x + x^{3} + 2$

解题步骤 1.5

重写该总和。

$\sum_{x = 1}^{4} 4 x^{2} + x + x^{3} + 2$

解题步骤 2

展开 $x$ 每个取值的序列。

$4 \cdot 1^{2} + 1 + 1^{3} + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 \cdot 1 + 1 + 1^{3} + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

解题步骤 3.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + 1 + 1^{3} + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

解题步骤 3.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$5 + 1^{3} + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

解题步骤 3.4

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$5 + 1 + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

解题步骤 3.5

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$6 + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

解题步骤 3.6

将 $6$ 和 $2$ 相加。

$8 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

解题步骤 3.7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 + 4 \cdot 4 + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

解题步骤 3.8

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$8 + 16 + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

解题步骤 3.9

将 $16$ 和 $2$ 相加。

$8 + 18 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

解题步骤 3.10

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 + 18 + 8 + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

解题步骤 3.11

将 $18$ 和 $8$ 相加。

$8 + 26 + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

解题步骤 3.12

将 $26$ 和 $2$ 相加。

$8 + 28 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

解题步骤 3.13

将 $8$ 和 $28$ 相加。

$36 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

解题步骤 3.14

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$36 + 4 \cdot 9 + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

解题步骤 3.15

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$36 + 36 + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

解题步骤 3.16

将 $36$ 和 $3$ 相加。

$36 + 39 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

解题步骤 3.17

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$36 + 39 + 27 + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

解题步骤 3.18

将 $39$ 和 $27$ 相加。

$36 + 66 + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

解题步骤 3.19

将 $66$ 和 $2$ 相加。

$36 + 68 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

解题步骤 3.20

将 $36$ 和 $68$ 相加。

$104 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

解题步骤 3.21

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$104 + 4 \cdot 16 + 4 + 4^{3} + 2$

解题步骤 3.22

将 $4$ 乘以 $16$ 。

$104 + 64 + 4 + 4^{3} + 2$

解题步骤 3.23

将 $64$ 和 $4$ 相加。

$104 + 68 + 4^{3} + 2$

解题步骤 3.24

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$104 + 68 + 64 + 2$

解题步骤 3.25

将 $68$ 和 $64$ 相加。

$104 + 132 + 2$

解题步骤 3.26

将 $132$ 和 $2$ 相加。

$104 + 134$

解题步骤 3.27

将 $104$ 和 $134$ 相加。

$238$

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