微积分学示例

$\cos (x) (\sec (x) - \cos (x))$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$\int \cos (x) \sec (x) + \cos (x) (- \cos (x)) d x$

解题步骤 1.2

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 1.2.1

将 $\cos (x)$ 和 $\sec (x)$ 重新排序。

$\int \sec (x) \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x)) d x$

解题步骤 1.2.2

将 $\cos (x) \sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x)) d x$

解题步骤 1.2.3

约去公因数。

$\int 1 + \cos (x) (- \cos (x)) d x$

解题步骤 1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\int 1 - \cos (x) \cos (x) d x$

解题步骤 1.4

乘以 $- \cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.4.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 1 - (\cos^{1} (x) \cos (x)) d x$

解题步骤 1.4.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 1 - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) d x$

解题步骤 1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 1 - {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

解题步骤 1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int 1 - \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 1.5

使用勾股恒等式。

$\int \sin^{2} (x) d x$

解题步骤 2

使用半角公式将 $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ 重新书写为 $\sin^{2} (x)$ 的形式。

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

解题步骤 7

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 7.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 7.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 8

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

解题步骤 10

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

解题步骤 11

化简。

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

解题步骤 12

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

组合 $\sin (2 x)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

解题步骤 13.2

运用分配律。

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

解题步骤 13.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

解题步骤 13.4

乘以 $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ 。

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解题步骤 13.4.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sin (2 x)}{2}$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 13.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

解题步骤 14

重新排序项。

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

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