微积分学示例

$| \frac{3 π}{4} |$

解题步骤 1

$\frac{3 π}{4}$ 约为 $2.35619449$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{3 π}{4}$

解题步骤 2

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 3

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 4

代入 $a = \frac{3 π}{4}$ 和 $b = 0$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{3 π}{4})}^{2}}$

解题步骤 5

求 $| z |$ 。

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解题步骤 5.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{3 π}{4})}^{2}}$

解题步骤 5.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 5.2.1

对 $\frac{3 π}{4}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(3 π)}^{2}}{4^{2}}}$

解题步骤 5.2.2

对 $3 π$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{3^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

解题步骤 5.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{9 π^{2}}{4^{2}}}$

解题步骤 5.4

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{9 π^{2}}{16}}$

解题步骤 5.5

将 $0$ 和 $\frac{9 π^{2}}{16}$ 相加。

$| z | = \sqrt{\frac{9 π^{2}}{16}}$

解题步骤 5.6

将 $\sqrt{\frac{9 π^{2}}{16}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{9 π^{2}}}{\sqrt{16}}$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{9 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

解题步骤 5.7

化简分子。

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解题步骤 5.7.1

将 $9 π^{2}$ 重写为 ${(3 π)}^{2}$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{{(3 π)}^{2}}}{\sqrt{16}}$

解题步骤 5.7.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = \frac{3 π}{\sqrt{16}}$

解题步骤 5.8

化简分母。

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解题步骤 5.8.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$| z | = \frac{3 π}{\sqrt{4^{2}}}$

解题步骤 5.8.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 6

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{3 π}{4}})$

解题步骤 7

代入 $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{3 π}{4}})$ 和 $| z | = \frac{3 π}{4}$ 的值。

$\frac{3 π}{4 (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{3 π}{4}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{3 π}{4}})))}$

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