微积分学示例

$\cot (θ) (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) = \tan (θ) \sin^{2} (θ)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\cot (θ) (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

将 $\cot (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

将 $\tan (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} ({(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} - \sin^{2} (θ))$

解题步骤 2.2.2

对 $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \sin^{2} (θ))$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \sin^{2} (θ))$

解题步骤 2.4

合并。

$\frac{\cos (θ) \sin^{2} (θ)}{\sin (θ) \cos^{2} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \sin^{2} (θ))$

解题步骤 2.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\cos (θ) \sin^{2} (θ)}{\sin (θ) \cos^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

解题步骤 2.6

化简每一项。

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解题步骤 2.6.1

约去 $\cos (θ)$ 和 $\cos^{2} (θ)$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1.1

从 $\cos (θ) \sin^{2} (θ)$ 中分解出因数 $\cos (θ)$ 。

$\frac{\cos (θ) (\sin^{2} (θ))}{\sin (θ) \cos^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

解题步骤 2.6.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.6.1.2.1

从 $\sin (θ) \cos^{2} (θ)$ 中分解出因数 $\cos (θ)$ 。

$\frac{\cos (θ) (\sin^{2} (θ))}{\cos (θ) (\sin (θ) \cos (θ))} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

解题步骤 2.6.1.2.2

约去公因数。

$\frac{\cos (θ) \sin^{2} (θ)}{\cos (θ) (\sin (θ) \cos (θ))} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

解题步骤 2.6.1.2.3

重写表达式。

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

解题步骤 2.6.2

约去 $\sin^{2} (θ)$ 和 $\sin (θ)$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.2.1

从 $\sin^{2} (θ)$ 中分解出因数 $\sin (θ)$ 。

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

解题步骤 2.6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.6.2.2.1

从 $\sin (θ) \cos (θ)$ 中分解出因数 $\sin (θ)$ 。

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) (\cos (θ))} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

解题步骤 2.6.2.2.2

约去公因数。

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

解题步骤 2.6.2.2.3

重写表达式。

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

解题步骤 2.6.3

约去 $\sin (θ)$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.3.1

将 $- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

解题步骤 2.6.3.2

从 $\sin^{2} (θ)$ 中分解出因数 $\sin (θ)$ 。

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ)}{\sin (θ)} (\sin (θ) \sin (θ))$

解题步骤 2.6.3.3

约去公因数。

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ)}{\sin (θ)} (\sin (θ) \sin (θ))$

解题步骤 2.6.3.4

重写表达式。

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} - \cos (θ) \sin (θ)$

解题步骤 3

将 $- \cos (θ) \sin (θ)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1}$

解题步骤 4

加上分数。

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解题步骤 4.1

要将 $\frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ 。

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1}$ 乘以 $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ 。

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ) \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)}$

解题步骤 4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\sin (θ) - \cos (θ) \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)}$

解题步骤 5

乘以 $- \cos (θ) \sin (θ) \cos (θ)$ 。

$\frac{\sin (θ) - \cos^{2} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

解题步骤 6

将勾股恒等式反过来使用。

$\frac{\sin (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

从 $\sin (θ) - (1 - {\sin (θ)}^{2}) \sin (θ)$ 中分解出因数 $\sin (θ)$ 。

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解题步骤 7.1.1.1

乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 - (1 - {\sin (θ)}^{2}) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

解题步骤 7.1.1.2

从 $- (1 - {\sin (θ)}^{2}) \sin (θ)$ 中分解出因数 $\sin (θ)$ 。

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) (- (1 - {\sin (θ)}^{2}))}{\cos (θ)}$

解题步骤 7.1.1.3

从 $\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) (- (1 - {\sin (θ)}^{2}))$ 中分解出因数 $\sin (θ)$ 。

$\frac{\sin (θ) (1 - (1 - {\sin (θ)}^{2}))}{\cos (θ)}$

解题步骤 7.1.2

运用分配律。

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 \cdot 1 - - {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

解题步骤 7.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 - - {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

解题步骤 7.1.4

乘以 $- - {\sin (θ)}^{2}$ 。

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解题步骤 7.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 + 1 {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

解题步骤 7.1.4.2

将 ${\sin (θ)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 + {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

解题步骤 7.1.5

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\sin (θ) (0 + {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

解题步骤 7.1.6

将 $0$ 和 ${\sin (θ)}^{2}$ 相加。

$\frac{\sin (θ) {\sin (θ)}^{2}}{\cos (θ)}$

解题步骤 7.2

通过指数相加将 $\sin (θ)$ 乘以 ${\sin (θ)}^{2}$ 。

$\frac{\sin^{3} (θ)}{\cos (θ)}$

解题步骤 8

将 $\frac{\sin^{3} (θ)}{\cos (θ)}$ 重写为 $\tan (θ) \sin^{2} (θ)$ 。

$\tan (θ) \sin^{2} (θ)$

解题步骤 9

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\cot (θ) (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) = \tan (θ) \sin^{2} (θ)$ 是一个恒等式

微积分学 示例

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