微积分学示例

$\int_{1}^{2 x} \frac{t^{2}}{t^{2} + 1} d t$

解题步骤 1

使用微积分基本定理和链式法则，取 $\int_{1}^{2 x} \frac{t^{2}}{t^{2} + 1} d t$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d}{d x} [2 x] \frac{{(2 x)}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] \frac{{(2 x)}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 \frac{{(2 x)}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

解题步骤 2.3

化简项。

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解题步骤 2.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{{(2 x)}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

解题步骤 2.3.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{{(2 (x))}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

解题步骤 2.3.3

化简表达式。

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解题步骤 2.3.3.1

对 $2 (x)$ 运用乘积法则。

$2 \frac{2^{2} x^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

解题步骤 2.3.3.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 \frac{4 x^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

解题步骤 2.3.4

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{4 x^{2}}{{(2 (x))}^{2} + 1}$

解题步骤 2.3.5

化简表达式。

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解题步骤 2.3.5.1

对 $2 (x)$ 运用乘积法则。

$2 \frac{4 x^{2}}{2^{2} x^{2} + 1}$

解题步骤 2.3.5.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 \frac{4 x^{2}}{4 x^{2} + 1}$

解题步骤 2.3.6

组合 $2$ 和 $\frac{4 x^{2}}{4 x^{2} + 1}$ 。

$\frac{2 (4 x^{2})}{4 x^{2} + 1}$

解题步骤 2.3.7

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 x^{2}}{4 x^{2} + 1}$

微积分学 示例

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