微积分学示例

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 4 x^{2} y$ , $(- 1, 1)$

解题步骤 1

将 $x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} - 4 x^{2} y = 0$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} - 4 x^{2} y$

解题步骤 2

从等式两边同时减去 $4 x^{2} y$ 。

${(x^{2} + y^{2})}^{2} - 4 x^{2} y = 0$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

将 ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ 重写为 $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$ 。

$(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2}) - 4 x^{2} y = 0$

解题步骤 3.2

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$x^{2} (x^{2} + y^{2}) + y^{2} (x^{2} + y^{2}) - 4 x^{2} y = 0$

解题步骤 3.2.2

运用分配律。

$x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} (x^{2} + y^{2}) - 4 x^{2} y = 0$

解题步骤 3.2.3

运用分配律。

$x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} - 4 x^{2} y = 0$

解题步骤 3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2 + 2} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} - 4 x^{2} y = 0$

解题步骤 3.3.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} - 4 x^{2} y = 0$

解题步骤 3.3.1.2

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2 + 2} - 4 x^{2} y = 0$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{4} - 4 x^{2} y = 0$

解题步骤 3.3.2

将 $x^{2} y^{2}$ 和 $y^{2} x^{2}$ 相加。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $y^{2}$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} + y^{4} - 4 x^{2} y = 0$

解题步骤 3.3.2.2

将 $x^{2} y^{2}$ 和 $x^{2} y^{2}$ 相加。

$x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} - 4 x^{2} y = 0$

解题步骤 4

判断给定点是否在给定函数的图像上。

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解题步骤 4.1

计算 $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} - 4 x^{2} y$ 在 $x = - 1$ 处的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + 2 {(- 1)}^{2} y^{2} + y^{4} - 4 {(- 1)}^{2} y$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- 1) = 1 + 2 {(- 1)}^{2} y^{2} + y^{4} - 4 {(- 1)}^{2} y$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1) = 1 + 2 \cdot (1 y^{2}) + y^{4} - 4 {(- 1)}^{2} y$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (- 1) = 1 + 2 y^{2} + y^{4} - 4 {(- 1)}^{2} y$

解题步骤 4.1.2.1.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1) = 1 + 2 y^{2} + y^{4} - 4 \cdot (1 y)$

解题步骤 4.1.2.1.5

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f (- 1) = 1 + 2 y^{2} + y^{4} - 4 y$

解题步骤 4.1.2.2

最终答案为 $1 + 2 y^{2} + y^{4} - 4 y$ 。

$1 + 2 y^{2} + y^{4} - 4 y$

解题步骤 4.2

因为 $1 + 2 y^{2} + y^{4} - 4 y$ $\neq$ $1$ ，所以该点不在图像上。

该点不在图像上

解题步骤 5

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