微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - x + 4$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\frac{1}{4} x^{4} + x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{4} x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.4

组合 $\frac{4}{4}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.1

约去公因数。

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.5.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- \frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3}{2} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.4.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.4.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.4.5

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.4.6

组合 $\frac{- 6}{2}$ 和 $x$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.4.7

约去 $- 6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.7.1

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.4.7.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.7.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.4.7.2.2

约去公因数。

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.4.7.2.3

重写表达式。

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.4.7.2.4

用 $- 3 x$ 除以 $1$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.5

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 1.5.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.5.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.6

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.6.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 + 0$

解题步骤 1.6.2

将 $x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1$ 和 $0$ 相加。

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 3 + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 3 + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $3 x^{2} + 6 x - 3$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 3$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{4} x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.2.4

组合 $\frac{4}{4}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.2.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.5.1

约去公因数。

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.2.5.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $- \frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3}{2} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.4.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.4.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.4.5

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.4.6

组合 $\frac{- 6}{2}$ 和 $x$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.4.7

约去 $- 6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.7.1

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.4.7.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.4.7.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.4.7.2.2

约去公因数。

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.4.7.2.3

重写表达式。

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.4.7.2.4

用 $- 3 x$ 除以 $1$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.5

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 4.1.5.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.5.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.6

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.6.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 + 0$

解题步骤 4.1.6.2

将 $x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

解题步骤 5.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.2.1

重新组合项。

$x^{3} - 1 + 3 x^{2} - 3 x = 0$

解题步骤 5.2.2

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$x^{3} - 1^{3} + 3 x^{2} - 3 x = 0$

解题步骤 5.2.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

解题步骤 5.2.4

化简。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

解题步骤 5.2.4.2

一的任意次幂都为一。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

解题步骤 5.2.5

从 $3 x^{2} - 3 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

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解题步骤 5.2.5.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x) - 3 x = 0$

解题步骤 5.2.5.2

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x) + 3 x (- 1) = 0$

解题步骤 5.2.5.3

从 $3 x (x) + 3 x (- 1)$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x - 1) = 0$

解题步骤 5.2.6

从 $(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

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解题步骤 5.2.6.1

从 $3 x (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (3 x) = 0$

解题步骤 5.2.6.2

从 $(x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (3 x)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1 + 3 x) = 0$

解题步骤 5.2.7

将 $x$ 和 $3 x$ 相加。

$(x - 1) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 5.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 5.5

将 $x^{2} + 4 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $x^{2} + 4 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.5.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 4$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3

化简。

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解题步骤 5.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.3.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 5.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.3

从 $16$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 5.5.2.3.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.5.2.3.3

化简 $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

解题步骤 5.5.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 5.5.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.4.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 5.5.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.3

从 $16$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 5.5.2.4.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.5.2.4.3

化简 $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

解题步骤 5.5.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = - 2 + \sqrt{3}$

解题步骤 5.5.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 5.5.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.5.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 5.5.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.3

从 $16$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 5.5.2.5.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.5.2.5.3

化简 $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

解题步骤 5.5.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = - 2 - \sqrt{3}$

解题步骤 5.5.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

解题步骤 5.6

最终解为使 $(x - 1) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 1, - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

解题步骤 8

计算在 $x = 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$3 {(1)}^{2} + 6 (1) - 3$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

一的任意次幂都为一。

$3 \cdot 1 + 6 (1) - 3$

解题步骤 9.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + 6 (1) - 3$

解题步骤 9.1.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$3 + 6 - 3$

解题步骤 9.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $3$ 和 $6$ 相加。

$9 - 3$

解题步骤 9.2.2

从 $9$ 中减去 $3$ 。

$6$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 1$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \frac{1}{4} \cdot {(1)}^{4} + {(1)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(1)}^{2} - (1) + 4$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = \frac{1}{4} \cdot 1 + {(1)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(1)}^{2} - (1) + 4$

解题步骤 11.2.1.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \frac{1}{4} + {(1)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(1)}^{2} - (1) + 4$

解题步骤 11.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$f (1) = \frac{1}{4} + 1 - \frac{3}{2} \cdot {(1)}^{2} - (1) + 4$

解题步骤 11.2.1.4

一的任意次幂都为一。

$f (1) = \frac{1}{4} + 1 - \frac{3}{2} \cdot 1 - (1) + 4$

解题步骤 11.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \frac{1}{4} + 1 - \frac{3}{2} - (1) + 4$

解题步骤 11.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \frac{1}{4} + 1 - \frac{3}{2} - 1 + 4$

解题步骤 11.2.2

求公分母。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{1} - \frac{3}{2} - 1 + 4$

解题步骤 11.2.2.2

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{2} - 1 + 4$

解题步骤 11.2.2.3

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} - \frac{3}{2} - 1 + 4$

解题步骤 11.2.2.4

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} - (\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 1 + 4$

解题步骤 11.2.2.5

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 1 + 4$

解题步骤 11.2.2.6

将 $- 1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 1}{1} + 4$

解题步骤 11.2.2.7

将 $\frac{- 1}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{4}{4} + 4$

解题步骤 11.2.2.8

将 $\frac{- 1}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + 4$

解题步骤 11.2.2.9

将 $4$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{4}{1}$

解题步骤 11.2.2.10

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{4}{1} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 11.2.2.11

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

解题步骤 11.2.2.12

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} - \frac{3 \cdot 2}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

解题步骤 11.2.3

在公分母上合并分子。

$f (1) = \frac{1 + 4 - 3 \cdot 2 - 1 \cdot 4 + 4 \cdot 4}{4}$

解题步骤 11.2.4

化简每一项。

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解题步骤 11.2.4.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$f (1) = \frac{1 + 4 - 6 - 1 \cdot 4 + 4 \cdot 4}{4}$

解题步骤 11.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (1) = \frac{1 + 4 - 6 - 4 + 4 \cdot 4}{4}$

解题步骤 11.2.4.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f (1) = \frac{1 + 4 - 6 - 4 + 16}{4}$

解题步骤 11.2.5

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 11.2.5.1

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f (1) = \frac{5 - 6 - 4 + 16}{4}$

解题步骤 11.2.5.2

从 $5$ 中减去 $6$ 。

$f (1) = \frac{- 1 - 4 + 16}{4}$

解题步骤 11.2.5.3

从 $- 1$ 中减去 $4$ 。

$f (1) = \frac{- 5 + 16}{4}$

解题步骤 11.2.5.4

将 $- 5$ 和 $16$ 相加。

$f (1) = \frac{11}{4}$

解题步骤 11.2.6

最终答案为 $\frac{11}{4}$ 。

$y = \frac{11}{4}$

解题步骤 12

计算在 $x = - 2 + \sqrt{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$3 {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

将 ${(- 2 + \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ 。

$3 ((- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 13.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 13.1.2.1

运用分配律。

$3 (- 2 (- 2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 13.1.2.2

运用分配律。

$3 (- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 13.1.2.3

运用分配律。

$3 (- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 13.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 13.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.3.1.1

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$3 (4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 13.1.3.1.2

将 $- 2$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$3 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 13.1.3.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$3 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 13.1.3.1.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$3 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 13.1.3.1.5

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$3 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 13.1.3.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$3 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 13.1.3.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$3 (7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 13.1.3.3

从 $- 2 \sqrt{3}$ 中减去 $2 \sqrt{3}$ 。

$3 (7 - 4 \sqrt{3}) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 13.1.4

运用分配律。

$3 \cdot 7 + 3 (- 4 \sqrt{3}) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 13.1.5

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$21 + 3 (- 4 \sqrt{3}) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 13.1.6

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$21 - 12 \sqrt{3} + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 13.1.7

运用分配律。

$21 - 12 \sqrt{3} + 6 \cdot - 2 + 6 \sqrt{3} - 3$

解题步骤 13.1.8

将 $6$ 乘以 $- 2$ 。

$21 - 12 \sqrt{3} - 12 + 6 \sqrt{3} - 3$

解题步骤 13.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 13.2.1

从 $21$ 中减去 $12$ 。

$9 - 12 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - 3$

解题步骤 13.2.2

从 $9$ 中减去 $3$ 。

$6 - 12 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}$

解题步骤 13.2.3

将 $- 12 \sqrt{3}$ 和 $6 \sqrt{3}$ 相加。

$6 - 6 \sqrt{3}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - 2 + \sqrt{3}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 2 + \sqrt{3}$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = - 2 + \sqrt{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- 2 + \sqrt{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{4} + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

使用二项式定理。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot ({(- 2)}^{4} + 4 {(- 2)}^{3} \sqrt{3} + 6 {(- 2)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.2.1

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 4 {(- 2)}^{3} \sqrt{3} + 6 {(- 2)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.2.2

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 4 \cdot (- 8 \sqrt{3}) + 6 {(- 2)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.2.3

将 $4$ 乘以 $- 8$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 6 {(- 2)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.2.4

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 6 \cdot (4 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.2.5

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 24 {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.2.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 15.2.1.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 24 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.2.6.4.1

约去公因数。

解题步骤 15.2.1.2.6.4.2

重写表达式。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3 + 4 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.2.6.5

计算指数。

解题步骤 15.2.1.2.7

将 $24$ 乘以 $3$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 + 4 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.2.8

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 8 {\sqrt{3}}^{3} + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.2.9

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 8 \sqrt{3^{3}} + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.2.10

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 8 \sqrt{27} + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.2.11

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1.2.11.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 8 \sqrt{9 (3)} + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.2.11.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 8 \sqrt{3^{2} \cdot 3} + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.2.12

从根式下提出各项。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 8 (3 \sqrt{3}) + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.2.13

将 $3$ 乘以 $- 8$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.2.14

将 ${\sqrt{3}}^{4}$ 重写为 $3^{2}$ 。

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解题步骤 15.2.1.2.14.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.2.14.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.2.14.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.2.14.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.2.14.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.2.14.4.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.2.14.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.2.14.4.2.2

约去公因数。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.2.14.4.2.3

重写表达式。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.2.14.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{2}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.2.15

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 9) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.3

将 $16$ 和 $72$ 相加。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (88 - 32 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} + 9) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.4

将 $88$ 和 $9$ 相加。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (97 - 32 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.5

从 $- 32 \sqrt{3}$ 中减去 $24 \sqrt{3}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (97 - 56 \sqrt{3}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.6

运用分配律。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot 97 + \frac{1}{4} \cdot (- 56 \sqrt{3}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.7

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $97$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + \frac{1}{4} \cdot (- 56 \sqrt{3}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.8

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.8.1

从 $- 56 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 14 \sqrt{3})) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.8.2

约去公因数。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 14 \sqrt{3})) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.8.3

重写表达式。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.9

使用二项式定理。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} + {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} \sqrt{3} + 3 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.10

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.10.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 3 {(- 2)}^{2} \sqrt{3} + 3 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.10.2

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 3 \cdot (4 \sqrt{3}) + 3 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.10.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} + 3 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.10.4

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} - 6 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.10.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 15.2.1.10.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} - 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.10.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} - 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.10.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} - 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.10.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.10.5.4.1

约去公因数。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} - 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.10.5.4.2

重写表达式。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} - 6 \cdot 3 + {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.10.5.5

计算指数。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} - 6 \cdot 3 + {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.10.6

将 $- 6$ 乘以 $3$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} - 18 + {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.10.7

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} - 18 + \sqrt{3^{3}} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.10.8

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} - 18 + \sqrt{27} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.10.9

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 15.2.1.10.9.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} - 18 + \sqrt{9 (3)} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.10.9.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} - 18 + \sqrt{3^{2} \cdot 3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.10.10

从根式下提出各项。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} - 18 + 3 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.11

从 $- 8$ 中减去 $18$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 12 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.12

将 $12 \sqrt{3}$ 和 $3 \sqrt{3}$ 相加。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.13

将 ${(- 2 + \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot ((- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.14

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 15.2.1.14.1

运用分配律。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (- 2 (- 2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.14.2

运用分配律。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.14.3

运用分配律。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.15

化简并合并同类项。

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解题步骤 15.2.1.15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.15.1.1

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.15.1.2

将 $- 2$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.15.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.15.1.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.15.1.5

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.15.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.15.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.15.3

从 $- 2 \sqrt{3}$ 中减去 $2 \sqrt{3}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (7 - 4 \sqrt{3}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.16

运用分配律。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot 7 - \frac{3}{2} \cdot (- 4 \sqrt{3}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.17

乘以 $- \frac{3}{2} \cdot 7$ 。

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解题步骤 15.2.1.17.1

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - 7 (\frac{3}{2}) - \frac{3}{2} \cdot (- 4 \sqrt{3}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.17.2

组合 $- 7$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} + \frac{- 7 \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot (- 4 \sqrt{3}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.17.3

将 $- 7$ 乘以 $3$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} + \frac{- 21}{2} - \frac{3}{2} \cdot (- 4 \sqrt{3}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.18

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.18.1

将 $- \frac{3}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} + \frac{- 21}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (- 4 \sqrt{3}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.18.2

从 $- 4 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} + \frac{- 21}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 2 \sqrt{3})) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.18.3

约去公因数。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} + \frac{- 21}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 2 \sqrt{3})) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.18.4

重写表达式。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} + \frac{- 21}{2} - 3 (- 2 \sqrt{3}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.19

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} + \frac{- 21}{2} + 6 \sqrt{3} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.20

将负号移到分数的前面。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} + 6 \sqrt{3} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 15.2.1.21

运用分配律。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.22

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

解题步骤 15.2.2

要将 $- 26$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 26 \cdot \frac{4}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

解题步骤 15.2.3

组合 $- 26$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + \frac{- 26 \cdot 4}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

解题步骤 15.2.4

在公分母上合并分子。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97 - 26 \cdot 4}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

解题步骤 15.2.5

化简分子。

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解题步骤 15.2.5.1

将 $- 26$ 乘以 $4$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97 - 104}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

解题步骤 15.2.5.2

从 $97$ 中减去 $104$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 7}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

解题步骤 15.2.6

将负号移到分数的前面。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{7}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

解题步骤 15.2.7

要将 $- \frac{21}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{7}{4} - \frac{21}{2} \cdot \frac{2}{2} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

解题步骤 15.2.8

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 15.2.8.1

将 $\frac{21}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{7}{4} - \frac{21 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

解题步骤 15.2.8.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{7}{4} - \frac{21 \cdot 2}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

解题步骤 15.2.9

在公分母上合并分子。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 7 - 21 \cdot 2}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

解题步骤 15.2.10

化简分子。

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解题步骤 15.2.10.1

将 $- 21$ 乘以 $2$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 7 - 42}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

解题步骤 15.2.10.2

从 $- 7$ 中减去 $42$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 49}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

解题步骤 15.2.11

将负号移到分数的前面。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{49}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

解题步骤 15.2.12

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{49}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - \sqrt{3} + 4$

解题步骤 15.2.13

组合 $2$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{49}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - \sqrt{3} + 4$

解题步骤 15.2.14

在公分母上合并分子。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 49 + 2 \cdot 4}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - \sqrt{3} + 4$

解题步骤 15.2.15

化简分子。

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解题步骤 15.2.15.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 49 + 8}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - \sqrt{3} + 4$

解题步骤 15.2.15.2

将 $- 49$ 和 $8$ 相加。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 41}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - \sqrt{3} + 4$

解题步骤 15.2.16

将负号移到分数的前面。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{41}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - \sqrt{3} + 4$

解题步骤 15.2.17

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{41}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.18

组合 $4$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{41}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.19

在公分母上合并分子。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 41 + 4 \cdot 4}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.20

化简分子。

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解题步骤 15.2.20.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 41 + 16}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.20.2

将 $- 41$ 和 $16$ 相加。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 25}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.21

将负号移到分数的前面。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{25}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.22

将 $- 14 \sqrt{3}$ 和 $15 \sqrt{3}$ 相加。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{25}{4} + \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.23

将 $\sqrt{3}$ 和 $6 \sqrt{3}$ 相加。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{25}{4} + 7 \sqrt{3} - \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.24

从 $7 \sqrt{3}$ 中减去 $\sqrt{3}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{25}{4} + 6 \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.25

最终答案为 $- \frac{25}{4} + 6 \sqrt{3}$ 。

$y = - \frac{25}{4} + 6 \sqrt{3}$

解题步骤 16

计算在 $x = - 2 - \sqrt{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$3 {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.1

将 ${(- 2 - \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ 。

$3 ((- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 17.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 17.1.2.1

运用分配律。

$3 (- 2 (- 2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3})) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 17.1.2.2

运用分配律。

$3 (- 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3})) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 17.1.2.3

运用分配律。

$3 (- 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 17.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 17.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.3.1.1

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$3 (4 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 17.1.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$3 (4 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 17.1.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 17.1.3.1.4

乘以 $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 17.1.3.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$3 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 17.1.3.1.4.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$3 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 17.1.3.1.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 17.1.3.1.4.4

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 17.1.3.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 17.1.3.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 17.1.3.1.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 17.1.3.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 17.1.3.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 17.1.3.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$3 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 17.1.3.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.3.1.5.4.1

约去公因数。

$3 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 17.1.3.1.5.4.2

重写表达式。

$3 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{1}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 17.1.3.1.5.5

计算指数。

$3 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 17.1.3.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$3 (7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 17.1.3.3

将 $2 \sqrt{3}$ 和 $2 \sqrt{3}$ 相加。

$3 (7 + 4 \sqrt{3}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 17.1.4

运用分配律。

$3 \cdot 7 + 3 (4 \sqrt{3}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 17.1.5

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$21 + 3 (4 \sqrt{3}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 17.1.6

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$21 + 12 \sqrt{3} + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 17.1.7

运用分配律。

$21 + 12 \sqrt{3} + 6 \cdot - 2 + 6 (- \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 17.1.8

将 $6$ 乘以 $- 2$ 。

$21 + 12 \sqrt{3} - 12 + 6 (- \sqrt{3}) - 3$

解题步骤 17.1.9

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$21 + 12 \sqrt{3} - 12 - 6 \sqrt{3} - 3$

解题步骤 17.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 17.2.1

从 $21$ 中减去 $12$ 。

$9 + 12 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3$

解题步骤 17.2.2

从 $9$ 中减去 $3$ 。

$6 + 12 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}$

解题步骤 17.2.3

从 $12 \sqrt{3}$ 中减去 $6 \sqrt{3}$ 。

$6 + 6 \sqrt{3}$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - 2 - \sqrt{3}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 2 - \sqrt{3}$ 是一个极小值

解题步骤 19

求 $x = - 2 - \sqrt{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 19.1

使用表达式中的 $- 2 - \sqrt{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{4} + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.1

使用二项式定理。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot ({(- 2)}^{4} + 4 {(- 2)}^{3} (- \sqrt{3}) + 6 {(- 2)}^{2} {(- \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.2.1

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 4 {(- 2)}^{3} (- \sqrt{3}) + 6 {(- 2)}^{2} {(- \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.2

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 4 \cdot (- 8 (- \sqrt{3})) + 6 {(- 2)}^{2} {(- \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.3

将 $4$ 乘以 $- 8$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 (- \sqrt{3}) + 6 {(- 2)}^{2} {(- \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $- 32$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 6 {(- 2)}^{2} {(- \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.5

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 6 \cdot (4 {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.6

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 24 {(- \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.7

对 $- \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 24 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 24 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.9

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 24 {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.10

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 19.2.1.2.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 24 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.2.10.4.1

约去公因数。

解题步骤 19.2.1.2.10.4.2

重写表达式。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3 + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.10.5

计算指数。

解题步骤 19.2.1.2.11

将 $24$ 乘以 $3$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.12

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 - 8 {(- \sqrt{3})}^{3} + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.13

对 $- \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 - 8 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.14

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 - 8 (- {\sqrt{3}}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.15

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 - 8 (- \sqrt{3^{3}}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.16

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 - 8 (- \sqrt{27}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.17

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 19.2.1.2.17.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 - 8 (- \sqrt{9 (3)}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.17.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 - 8 (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.18

从根式下提出各项。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 - 8 (- (3 \sqrt{3})) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.19

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 - 8 (- 3 \sqrt{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.20

将 $- 3$ 乘以 $- 8$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.21

对 $- \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.22

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 1 {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.23

将 ${\sqrt{3}}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.24

将 ${\sqrt{3}}^{4}$ 重写为 $3^{2}$ 。

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解题步骤 19.2.1.2.24.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.24.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.24.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.24.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.2.24.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.24.4.2

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.2.24.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.24.4.2.2

约去公因数。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.24.4.2.3

重写表达式。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.24.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{2}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.2.25

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 9) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.3

将 $16$ 和 $72$ 相加。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (88 + 32 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} + 9) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.4

将 $88$ 和 $9$ 相加。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (97 + 32 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.5

将 $32 \sqrt{3}$ 和 $24 \sqrt{3}$ 相加。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (97 + 56 \sqrt{3}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.6

运用分配律。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot 97 + \frac{1}{4} \cdot (56 \sqrt{3}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.7

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $97$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + \frac{1}{4} \cdot (56 \sqrt{3}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.8

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.8.1

从 $56 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 (14 \sqrt{3})) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.8.2

约去公因数。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 (14 \sqrt{3})) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.8.3

重写表达式。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.9

使用二项式定理。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} + {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} (- \sqrt{3}) + 3 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.10

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.10.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 + 3 {(- 2)}^{2} (- \sqrt{3}) + 3 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.10.2

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 + 3 \cdot (4 (- \sqrt{3})) + 3 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.10.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 + 12 (- \sqrt{3}) + 3 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.10.4

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} + 3 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.10.5

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 6 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.10.6

对 $- \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.10.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 6 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.10.8

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 6 {\sqrt{3}}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.10.9

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 19.2.1.10.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.10.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.10.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.10.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.10.9.4.1

约去公因数。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.10.9.4.2

重写表达式。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 6 \cdot 3 + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.10.9.5

计算指数。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 6 \cdot 3 + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.10.10

将 $- 6$ 乘以 $3$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 18 + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.10.11

对 $- \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 18 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.10.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 18 - {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.10.13

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 18 - \sqrt{3^{3}} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.10.14

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 18 - \sqrt{27} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.10.15

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 19.2.1.10.15.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 18 - \sqrt{9 (3)} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.10.15.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 18 - \sqrt{3^{2} \cdot 3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.10.16

从根式下提出各项。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 18 - (3 \sqrt{3}) - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.10.17

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 18 - 3 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.11

从 $- 8$ 中减去 $18$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 12 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.12

从 $- 12 \sqrt{3}$ 中减去 $3 \sqrt{3}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.13

将 ${(- 2 - \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot ((- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.14

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 19.2.1.14.1

运用分配律。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (- 2 (- 2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3})) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.14.2

运用分配律。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (- 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3})) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.14.3

运用分配律。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (- 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.15

化简并合并同类项。

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解题步骤 19.2.1.15.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.15.1.1

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.15.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.15.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.15.1.4

乘以 $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 19.2.1.15.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.15.1.4.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.15.1.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.15.1.4.4

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.15.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.15.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.15.1.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 19.2.1.15.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.15.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.15.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.15.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.15.1.5.4.1

约去公因数。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.15.1.5.4.2

重写表达式。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.15.1.5.5

计算指数。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.15.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.15.3

将 $2 \sqrt{3}$ 和 $2 \sqrt{3}$ 相加。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (7 + 4 \sqrt{3}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.16

运用分配律。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot 7 - \frac{3}{2} \cdot (4 \sqrt{3}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.17

乘以 $- \frac{3}{2} \cdot 7$ 。

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解题步骤 19.2.1.17.1

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - 7 (\frac{3}{2}) - \frac{3}{2} \cdot (4 \sqrt{3}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.17.2

组合 $- 7$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} + \frac{- 7 \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot (4 \sqrt{3}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.17.3

将 $- 7$ 乘以 $3$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} + \frac{- 21}{2} - \frac{3}{2} \cdot (4 \sqrt{3}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.18

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.18.1

将 $- \frac{3}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} + \frac{- 21}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (4 \sqrt{3}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.18.2

从 $4 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} + \frac{- 21}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (2 \sqrt{3})) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.18.3

约去公因数。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} + \frac{- 21}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (2 \sqrt{3})) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.18.4

重写表达式。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} + \frac{- 21}{2} - 3 (2 \sqrt{3}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.19

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} + \frac{- 21}{2} - 6 \sqrt{3} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.20

将负号移到分数的前面。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} - 6 \sqrt{3} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

解题步骤 19.2.1.21

运用分配律。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

解题步骤 19.2.1.22

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

解题步骤 19.2.1.23

乘以 $- - \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 19.2.1.23.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} - 6 \sqrt{3} + 2 + 1 \sqrt{3} + 4$

解题步骤 19.2.1.23.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

解题步骤 19.2.2

要将 $- 26$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 26 \cdot \frac{4}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

解题步骤 19.2.3

组合 $- 26$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + \frac{- 26 \cdot 4}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

解题步骤 19.2.4

在公分母上合并分子。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97 - 26 \cdot 4}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

解题步骤 19.2.5

化简分子。

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解题步骤 19.2.5.1

将 $- 26$ 乘以 $4$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97 - 104}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

解题步骤 19.2.5.2

从 $97$ 中减去 $104$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 7}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

解题步骤 19.2.6

将负号移到分数的前面。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{7}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

解题步骤 19.2.7

要将 $- \frac{21}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{7}{4} - \frac{21}{2} \cdot \frac{2}{2} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

解题步骤 19.2.8

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 19.2.8.1

将 $\frac{21}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{7}{4} - \frac{21 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

解题步骤 19.2.8.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{7}{4} - \frac{21 \cdot 2}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

解题步骤 19.2.9

在公分母上合并分子。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 7 - 21 \cdot 2}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

解题步骤 19.2.10

化简分子。

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解题步骤 19.2.10.1

将 $- 21$ 乘以 $2$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 7 - 42}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

解题步骤 19.2.10.2

从 $- 7$ 中减去 $42$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 49}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

解题步骤 19.2.11

将负号移到分数的前面。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{49}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

解题步骤 19.2.12

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{49}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3} + 4$

解题步骤 19.2.13

组合 $2$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{49}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3} + 4$

解题步骤 19.2.14

在公分母上合并分子。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 49 + 2 \cdot 4}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3} + 4$

解题步骤 19.2.15

化简分子。

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解题步骤 19.2.15.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 49 + 8}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3} + 4$

解题步骤 19.2.15.2

将 $- 49$ 和 $8$ 相加。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 41}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3} + 4$

解题步骤 19.2.16

将负号移到分数的前面。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{41}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3} + 4$

解题步骤 19.2.17

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{41}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.18

组合 $4$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{41}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.19

在公分母上合并分子。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 41 + 4 \cdot 4}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.20

化简分子。

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解题步骤 19.2.20.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 41 + 16}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.20.2

将 $- 41$ 和 $16$ 相加。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 25}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.21

将负号移到分数的前面。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{25}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.22

从 $14 \sqrt{3}$ 中减去 $15 \sqrt{3}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{25}{4} - \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.23

从 $- \sqrt{3}$ 中减去 $6 \sqrt{3}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{25}{4} - 7 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.24

将 $- 7 \sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{25}{4} - 6 \sqrt{3}$

解题步骤 19.2.25

最终答案为 $- \frac{25}{4} - 6 \sqrt{3}$ 。

$y = - \frac{25}{4} - 6 \sqrt{3}$

解题步骤 20

这些是 $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - x + 4$ 的局部极值。

$(1, \frac{11}{4})$ 是一个局部最小值

$(- 2 + \sqrt{3}, - \frac{25}{4} + 6 \sqrt{3})$ 是一个局部最大值

$(- 2 - \sqrt{3}, - \frac{25}{4} - 6 \sqrt{3})$ 是一个局部最小值

解题步骤 21

微积分学 示例

微积分学示例