微积分学示例

$f (x) = | x^{2} - 100 |$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = x^{2} - 100$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 100$ 。

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]$

解题步骤 1.1.2

$| u |$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{u}{| u |}$ 。

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]$

解题步骤 1.1.3

使用 $x^{2} - 100$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 100$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100]$ 。

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100])$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 100])$

解题步骤 1.2.3

因为 $- 100$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 100$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} (2 x + 0)$

解题步骤 1.2.4

合并分数。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} (2 x)$

解题步骤 1.2.4.2

组合 $2$ 和 $\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |}$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 100)}{| x^{2} - 100 |} x$

解题步骤 1.2.4.3

组合 $\frac{2 (x^{2} - 100)}{| x^{2} - 100 |}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 100) x}{| x^{2} - 100 |}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 100) x}{| x^{2} - 100 |}$

解题步骤 1.3.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

解题步骤 1.3.3

化简每一项。

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解题步骤 1.3.3.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.3.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

解题步骤 1.3.3.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.3.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

解题步骤 1.3.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

解题步骤 1.3.3.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

解题步骤 1.3.3.2

将 $2$ 乘以 $- 100$ 。

$\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 x^{3} - 200 x$ 且 $g (x) = | x^{2} - 100 |$ 。

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | \frac{d}{d x} (2 x^{3} - 200 x) - (2 x^{3} - 200 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $2 x^{3} - 200 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 200 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (\frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 200 x)) - (2 x^{3} - 200 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 200 x)) - (2 x^{3} - 200 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 200 x)) - (2 x^{3} - 200 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.2.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 200 x)) - (2 x^{3} - 200 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.2.5

因为 $- 200$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 200 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 200 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200 \frac{d}{d x} x) - (2 x^{3} - 200 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200 \cdot 1) - (2 x^{3} - 200 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.2.7

将 $- 200$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = x^{2} - 100$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 100$ 。

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x^{2} - 100))}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

$| u |$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{u}{| u |}$ 。

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 100))}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.3.3

使用 $x^{2} - 100$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) (\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 100))}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

根据加法法则， $x^{2} - 100$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100]$ 。

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) (\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 100)))}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) (\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 100)))}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.4.3

因为 $- 100$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 100$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) (\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} \cdot (2 x + 0))}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.4.4

合并分数。

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解题步骤 2.4.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) (\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} \cdot (2 x))}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.4.4.2

组合 $2$ 和 $\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |}$ 。

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) (\frac{2 (x^{2} - 100)}{| x^{2} - 100 |} \cdot x)}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.4.4.3

组合 $\frac{2 (x^{2} - 100)}{| x^{2} - 100 |}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) \frac{2 (x^{2} - 100) x}{| x^{2} - 100 |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 (x^{2} - 100) x}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 100) x}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 100 x)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4

化简分子。

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解题步骤 2.5.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.4.1.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2}) + | x^{2} - 100 | \cdot - 200 + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 100 x)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} + | x^{2} - 100 | \cdot - 200 + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 100 x)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.3

将 $- 200$ 移到 $| x^{2} - 100 |$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 \cdot | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 100 x)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.4

化简分子。

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解题步骤 2.5.4.1.4.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.4.1.4.1.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 100 x)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.4.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.4.1.4.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 100 x)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 100 x)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.4.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 100 x)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.4.2

将 $2$ 乘以 $- 100$ 。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.4.3

以因式分解的形式重写 $2 x^{3} - 200 x$ 。

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解题步骤 2.5.4.1.4.3.1

从 $2 x^{3} - 200 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 2.5.4.1.4.3.1.1

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x^{2}) - 200 x}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.4.3.1.2

从 $- 200 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x^{2}) + 2 x (- 100)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.4.3.1.3

从 $2 x (x^{2}) + 2 x (- 100)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x^{2} - 100)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.4.3.2

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x^{2} - 10^{2})}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.4.3.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 10$ 。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.5

化简分母。

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解题步骤 2.5.4.1.5.1

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x^{2} - 10^{2} |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 10$ 。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.5.3

使用 FOIL 方法展开 $(x + 10) (x - 10)$ 。

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解题步骤 2.5.4.1.5.3.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x (x - 10) + 10 (x - 10) |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.5.3.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 (x - 10) |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.5.3.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 x + 10 \cdot - 10 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.5.4

合并 $x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 x + 10 \cdot - 10$ 中相反的项。

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解题步骤 2.5.4.1.5.4.1

按照 $x \cdot - 10$ 和 $10 x$ 重新排列因数。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x \cdot x - 10 x + 10 x + 10 \cdot - 10 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.5.4.2

将 $- 10 x$ 和 $10 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x \cdot x + 0 + 10 \cdot - 10 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.5.4.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x \cdot x + 10 \cdot - 10 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.5.5

化简每一项。

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解题步骤 2.5.4.1.5.5.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x^{2} + 10 \cdot - 10 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.5.5.2

将 $10$ 乘以 $- 10$ 。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.5.6

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x^{2} - 10^{2} |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.5.7

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 10$ 。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.6

化简每一项。

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解题步骤 2.5.4.1.6.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- 2 x^{3} - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.6.2

将 $- 200$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- 2 x^{3} + 200 x) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.7

将 $- 2 x^{3} + 200 x$ 乘以 $\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}$ 。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{(- 2 x^{3} + 200 x) (2 x (x + 10) (x - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.8

化简分子。

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解题步骤 2.5.4.1.8.1

从 $- 2 x^{3} + 200 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 2.5.4.1.8.1.1

从 $- 2 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{(2 x (- x^{2}) + 200 x) \cdot (2 x (x + 10) (x - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.8.1.2

从 $200 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{(2 x (- x^{2}) + 2 x (100)) \cdot (2 x (x + 10) (x - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.8.1.3

从 $2 x (- x^{2}) + 2 x (100)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{2 x (- x^{2} + 100) \cdot (2 x (x + 10) (x - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.8.2

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{2 x (- x^{2} + 10^{2}) \cdot (2 x (x + 10) (x - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.8.3

将 $- x^{2}$ 和 $10^{2}$ 重新排序。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{2 x (10^{2} - x^{2}) \cdot (2 x (x + 10) (x - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.8.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 10$ 和 $b = x$ 。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{2 x (10 + x) (10 - x) \cdot (2 x (x + 10) (x - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.8.5

合并指数。

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解题步骤 2.5.4.1.8.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x (10 + x) (10 - x) x (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.8.5.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 (x \cdot x) (10 + x) (10 - x) (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.8.5.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 (x \cdot x) (10 + x) (10 - x) (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.8.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{1 + 1} (10 + x) (10 - x) (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.8.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} (10 + x) (10 - x) (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.8.5.6

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} (x + 10) (10 - x) (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.8.5.7

对 $x + 10$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} ((x + 10) (x + 10)) (10 - x) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.8.5.8

对 $x + 10$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} ((x + 10) (x + 10)) (10 - x) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.8.5.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{1 + 1} (10 - x) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.8.5.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} (10 - x) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.8.5.11

将 $10$ 重写为 $- 1 (- 10)$ 。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} (- 1 \cdot - 10 - x) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.8.5.12

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} (- 1 \cdot - 10 - (x)) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.8.5.13

从 $- 1 (- 10) - (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} (- 1 (- 10 + x)) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.8.5.14

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} \cdot (- 1 (x - 10) (x - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.8.5.15

对 $x - 10$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} \cdot (- 1 ((x - 10) (x - 10)))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.8.5.16

对 $x - 10$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} \cdot (- 1 ((x - 10) (x - 10)))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.8.5.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} \cdot (- 1 {(x - 10)}^{1 + 1})}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.8.5.18

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} \cdot (- 1 {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.8.5.19

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{- 4 x^{2} {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.1.9

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | - \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.2

要将 $6 | x^{2} - 100 | x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{| (x + 10) (x - 10) |}{| (x + 10) (x - 10) |}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} | (x + 10) (x - 10) |}{| (x + 10) (x - 10) |} - \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} | (x + 10) (x - 10) | - 4 x^{2} {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4

化简每一项。

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解题步骤 2.5.4.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.4.4.1.1

从 $6 | x^{2} - 100 | x^{2} | (x + 10) (x - 10) | - 4 x^{2} {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.4.4.1.1.1

从 $6 | x^{2} - 100 | x^{2} | (x + 10) (x - 10) |$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |) - 4 x^{2} {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.1.2

从 $- 4 x^{2} {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |) + 2 x^{2} (- 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.1.3

从 $2 x^{2} (3 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |) + 2 x^{2} (- 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.2

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x + 10) (x - 10) (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3

化简每一项。

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解题步骤 2.5.4.4.1.3.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 10) (x - 10)$ 。

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解题步骤 2.5.4.4.1.3.1.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x (x - 10) + 10 (x - 10)) (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.1.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 (x - 10)) (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.1.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 x + 10 \cdot - 10) (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.2

合并 $x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 x + 10 \cdot - 10$ 中相反的项。

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解题步骤 2.5.4.4.1.3.2.1

按照 $x \cdot - 10$ 和 $10 x$ 重新排列因数。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x \cdot x - 10 x + 10 x + 10 \cdot - 10) (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.2.2

将 $- 10 x$ 和 $10 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x \cdot x + 0 + 10 \cdot - 10) (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.2.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x \cdot x + 10 \cdot - 10) (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.3

化简每一项。

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解题步骤 2.5.4.4.1.3.3.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x^{2} + 10 \cdot - 10) (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.3.2

将 $10$ 乘以 $- 10$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x^{2} - 100) (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.4

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} - 100) (x^{2} - 100)$ 。

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解题步骤 2.5.4.4.1.3.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2} (x^{2} - 100) - 100 (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.4.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 100 - 100 (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.4.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 100 - 100 x^{2} - 100 \cdot - 100 | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.5.4.4.1.3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.4.4.1.3.5.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.4.4.1.3.5.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 100 - 100 x^{2} - 100 \cdot - 100 | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.5.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} + x^{2} \cdot - 100 - 100 x^{2} - 100 \cdot - 100 | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.5.1.2

将 $- 100$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 100 \cdot x^{2} - 100 x^{2} - 100 \cdot - 100 | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.5.1.3

将 $- 100$ 乘以 $- 100$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 100 x^{2} - 100 x^{2} + 10000 | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.5.2

从 $- 100 x^{2}$ 中减去 $100 x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.6

将 ${(x + 10)}^{2}$ 重写为 $(x + 10) (x + 10)$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 ((x + 10) (x + 10)) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.7

使用 FOIL 方法展开 $(x + 10) (x + 10)$ 。

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解题步骤 2.5.4.4.1.3.7.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 (x (x + 10) + 10 (x + 10)) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.7.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 (x \cdot x + x \cdot 10 + 10 (x + 10)) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.7.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 (x \cdot x + x \cdot 10 + 10 x + 10 \cdot 10) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.5.4.4.1.3.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.4.4.1.3.8.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 (x^{2} + x \cdot 10 + 10 x + 10 \cdot 10) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.8.1.2

将 $10$ 移到 $x$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 (x^{2} + 10 \cdot x + 10 x + 10 \cdot 10) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.8.1.3

将 $10$ 乘以 $10$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 (x^{2} + 10 x + 10 x + 100) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.8.2

将 $10 x$ 和 $10 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 (x^{2} + 20 x + 100) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.9

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 2 (20 x) - 2 \cdot 100) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.10

化简。

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解题步骤 2.5.4.4.1.3.10.1

将 $20$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 2 \cdot 100) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.10.2

将 $- 2$ 乘以 $100$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 200) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.11

将 ${(x - 10)}^{2}$ 重写为 $(x - 10) (x - 10)$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 200) ((x - 10) (x - 10)))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.12

使用 FOIL 方法展开 $(x - 10) (x - 10)$ 。

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解题步骤 2.5.4.4.1.3.12.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 200) (x (x - 10) - 10 (x - 10)))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.12.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 200) (x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 (x - 10)))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.12.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 200) (x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.13

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.5.4.4.1.3.13.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.4.4.1.3.13.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 200) (x^{2} + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.13.1.2

将 $- 10$ 移到 $x$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 200) (x^{2} - 10 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.13.1.3

将 $- 10$ 乘以 $- 10$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 200) (x^{2} - 10 x - 10 x + 100))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.13.2

从 $- 10 x$ 中减去 $10 x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 200) (x^{2} - 20 x + 100))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.14

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- 2 x^{2} - 40 x - 200) (x^{2} - 20 x + 100)$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{2} x^{2} - 2 x^{2} (- 20 x) - 2 x^{2} \cdot 100 - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.15

化简每一项。

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解题步骤 2.5.4.4.1.3.15.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.4.4.1.3.15.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 (x^{2} x^{2}) - 2 x^{2} (- 20 x) - 2 x^{2} \cdot 100 - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.15.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{2 + 2} - 2 x^{2} (- 20 x) - 2 x^{2} \cdot 100 - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.15.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} - 2 x^{2} (- 20 x) - 2 x^{2} \cdot 100 - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.15.2

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} - 2 \cdot (- 20 x^{2} x) - 2 x^{2} \cdot 100 - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.15.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.4.4.1.3.15.3.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} - 2 \cdot (- 20 (x \cdot x^{2})) - 2 x^{2} \cdot 100 - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.15.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.4.4.1.3.15.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.5.4.4.1.3.15.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} - 2 \cdot (- 20 x^{1 + 2}) - 2 x^{2} \cdot 100 - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.15.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} - 2 \cdot (- 20 x^{3}) - 2 x^{2} \cdot 100 - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.15.4

将 $- 2$ 乘以 $- 20$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 2 x^{2} \cdot 100 - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.15.5

将 $100$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.15.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.4.4.1.3.15.6.1

移动 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 (x^{2} x) - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.15.6.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.4.4.1.3.15.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.5.4.4.1.3.15.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{2 + 1} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.15.6.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{3} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.15.7

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{3} - 40 \cdot (- 20 x \cdot x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.15.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.4.4.1.3.15.8.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{3} - 40 \cdot (- 20 (x \cdot x)) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.15.8.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{3} - 40 \cdot (- 20 x^{2}) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.15.9

将 $- 40$ 乘以 $- 20$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{3} + 800 x^{2} - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.15.10

将 $100$ 乘以 $- 40$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{3} + 800 x^{2} - 4000 x - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.15.11

将 $- 20$ 乘以 $- 200$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{3} + 800 x^{2} - 4000 x - 200 x^{2} + 4000 x - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.15.12

将 $- 200$ 乘以 $100$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{3} + 800 x^{2} - 4000 x - 200 x^{2} + 4000 x - 20000)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.16

合并 $- 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{3} + 800 x^{2} - 4000 x - 200 x^{2} + 4000 x - 20000$ 中相反的项。

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解题步骤 2.5.4.4.1.3.16.1

从 $40 x^{3}$ 中减去 $40 x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} - 200 x^{2} + 0 + 800 x^{2} - 4000 x - 200 x^{2} + 4000 x - 20000)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.16.2

将 $- 2 x^{4} - 200 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} - 200 x^{2} + 800 x^{2} - 4000 x - 200 x^{2} + 4000 x - 20000)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.16.3

将 $- 4000 x$ 和 $4000 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} - 200 x^{2} + 800 x^{2} - 200 x^{2} + 0 - 20000)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.16.4

将 $- 2 x^{4} - 200 x^{2} + 800 x^{2} - 200 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} - 200 x^{2} + 800 x^{2} - 200 x^{2} - 20000)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.17

将 $- 200 x^{2}$ 和 $800 x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 600 x^{2} - 200 x^{2} - 20000)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3.18

从 $600 x^{2}$ 中减去 $200 x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 400 x^{2} - 20000)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.4

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 2 x^{4} + 400 x^{2} + 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 20000)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.5

以因式分解的形式重写 $- 2 x^{4} + 400 x^{2} + 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 20000$ 。

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解题步骤 2.5.4.4.1.5.1

重新组合项。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 20000 - 2 x^{4} + 400 x^{2} + 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.5.2

从 $- 2 x^{4} + 400 x^{2} + 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 2.5.4.4.1.5.2.1

从 $- 2 x^{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 20000 - (2 x^{4}) + 400 x^{2} + 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.5.2.2

从 $400 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 20000 - (2 x^{4}) - (- 400 x^{2}) + 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.5.2.3

从 $3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 20000 - (2 x^{4}) - (- 400 x^{2}) - (- 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.5.2.4

从 $- (2 x^{4}) - (- 400 x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 20000 - (2 x^{4} - 400 x^{2}) - (- 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.5.2.5

从 $- (2 x^{4} - 400 x^{2}) - (- 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 20000 - (2 x^{4} - 400 x^{2} - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.5.3

从 $- 20000 - (2 x^{4} - 400 x^{2} - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 2.5.4.4.1.5.3.1

将 $- 20000$ 重写为 $- 1 (20000)$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 1 \cdot 20000 - (2 x^{4} - 400 x^{2} - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.5.3.2

从 $- 1 (20000) - (2 x^{4} - 400 x^{2} - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 1 (20000 + 2 x^{4} - 400 x^{2} - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.5.3.3

将 $- 1 (20000 + 2 x^{4} - 400 x^{2} - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ 重写为 $- (20000 + 2 x^{4} - 400 x^{2} - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- (20000 + 2 x^{4} - 400 x^{2} - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.5.4

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} \cdot (- 1 (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.6

合并指数。

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解题步骤 2.5.4.4.1.6.1

提取负因数。

$f'' (x) = \frac{\frac{- (2 x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 2 (x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.2

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{- \frac{2 x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.5

要将 $- 200 | x^{2} - 100 |$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{| (x + 10) (x - 10) |}{| (x + 10) (x - 10) |}$ 。

$f'' (x) = \frac{- \frac{2 x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 | \cdot \frac{| (x + 10) (x - 10) |}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.6

组合 $- 200 | x^{2} - 100 |$ 和 $\frac{| (x + 10) (x - 10) |}{| (x + 10) (x - 10) |}$ 。

$f'' (x) = \frac{- \frac{2 x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |} + \frac{- 200 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.7

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 2 x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - 200 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8

化简分子。

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解题步骤 2.5.4.8.1

从 $- 2 x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - 200 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.5.4.8.1.1

从 $- 2 x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)) - 200 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.1.2

从 $- 200 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)) + 2 (- 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.1.3

从 $2 (- x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)) + 2 (- 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- x^{2} (2 x^{4}) - x^{2} (- 400 x^{2}) - x^{2} \cdot 20000 - x^{2} (- 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.3

化简。

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解题步骤 2.5.4.8.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 x^{2} x^{4}) - x^{2} (- 400 x^{2}) - x^{2} \cdot 20000 - x^{2} (- 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.3.2

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 x^{2} x^{4}) - 1 \cdot (- 400 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 20000 - x^{2} (- 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.3.3

将 $20000$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 x^{2} x^{4}) - 1 \cdot (- 400 x^{2} x^{2}) - 20000 x^{2} - x^{2} (- 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.3.4

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 x^{2} x^{4}) - 1 \cdot (- 400 x^{2} x^{2}) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.4

化简每一项。

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解题步骤 2.5.4.8.4.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.5.4.8.4.1.1

移动 $x^{4}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 (x^{4} x^{2})) - 1 \cdot (- 400 x^{2} x^{2}) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 x^{4 + 2}) - 1 \cdot (- 400 x^{2} x^{2}) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.4.1.3

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 x^{6}) - 1 \cdot (- 400 x^{2} x^{2}) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.4.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} - 1 \cdot (- 400 x^{2} x^{2}) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.4.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.4.8.4.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} - 1 \cdot (- 400 (x^{2} x^{2})) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.4.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} - 1 \cdot (- 400 x^{2 + 2}) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.4.3.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} - 1 \cdot (- 400 x^{4}) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.4.4

将 $- 1$ 乘以 $- 400$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.5

使用 FOIL 方法展开 $(x + 10) (x - 10)$ 。

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解题步骤 2.5.4.8.5.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | x (x - 10) + 10 (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.5.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.5.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 x + 10 \cdot - 10 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.6

合并 $x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 x + 10 \cdot - 10$ 中相反的项。

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解题步骤 2.5.4.8.6.1

按照 $x \cdot - 10$ 和 $10 x$ 重新排列因数。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | x \cdot x - 10 x + 10 x + 10 \cdot - 10 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.6.2

将 $- 10 x$ 和 $10 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | x \cdot x + 0 + 10 \cdot - 10 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.6.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | x \cdot x + 10 \cdot - 10 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.7

化简每一项。

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解题步骤 2.5.4.8.7.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | x^{2} + 10 \cdot - 10 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.7.2

将 $10$ 乘以 $- 10$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | x^{2} - 100 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.8

乘以 $- 100 | x^{2} - 100 | | x^{2} - 100 |$ 。

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解题步骤 2.5.4.8.8.1

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | (x^{2} - 100) (x^{2} - 100) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.8.2

对 $x^{2} - 100$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | (x^{2} - 100) (x^{2} - 100) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.8.3

对 $x^{2} - 100$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | (x^{2} - 100) (x^{2} - 100) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.8.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | {(x^{2} - 100)}^{1 + 1} |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.8.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | {(x^{2} - 100)}^{2} |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.9

将 ${(x^{2} - 100)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} - 100) (x^{2} - 100)$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | (x^{2} - 100) (x^{2} - 100) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.10

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} - 100) (x^{2} - 100)$ 。

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解题步骤 2.5.4.8.10.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} (x^{2} - 100) - 100 (x^{2} - 100) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.10.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 100 - 100 (x^{2} - 100) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.10.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 100 - 100 x^{2} - 100 \cdot - 100 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.11

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.5.4.8.11.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.4.8.11.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.4.8.11.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 100 - 100 x^{2} - 100 \cdot - 100 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.11.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{4} + x^{2} \cdot - 100 - 100 x^{2} - 100 \cdot - 100 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.11.1.2

将 $- 100$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{4} - 100 \cdot x^{2} - 100 x^{2} - 100 \cdot - 100 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.11.1.3

将 $- 100$ 乘以 $- 100$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{4} - 100 x^{2} - 100 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.8.11.2

从 $- 100 x^{2}$ 中减去 $100 x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.9

从 $- 2 x^{6}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6}) + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.10

从 $400 x^{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6}) - (- 400 x^{4}) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.11

从 $- (2 x^{6}) - (- 400 x^{4})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 400 x^{4}) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.12

从 $- 20000 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 400 x^{4}) - (20000 x^{2}) + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.13

从 $- (2 x^{6} - 400 x^{4}) - (20000 x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2}) + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.14

从 $3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2}) - (- 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.15

从 $- (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2}) - (- 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.16

从 $- 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - (100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.17

从 $- (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - (100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.18

将 $- (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ 重写为 $- 1 (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.19

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{- \frac{2 (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.5

合并项。

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解题步骤 2.5.5.1

将 $\frac{- \frac{2 (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |} \cdot \frac{1}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.5.2

将 $\frac{1}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$ 乘以 $\frac{2 (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{{| x^{2} - 100 |}^{2} | (x + 10) (x - 10) |}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = x^{2} - 100$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 100$ 。

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]$

解题步骤 4.1.1.2

$| u |$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{u}{| u |}$ 。

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]$

解题步骤 4.1.1.3

使用 $x^{2} - 100$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 100$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100]$ 。

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100])$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 100])$

解题步骤 4.1.2.3

因为 $- 100$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 100$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} (2 x + 0)$

解题步骤 4.1.2.4

合并分数。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} (2 x)$

解题步骤 4.1.2.4.2

组合 $2$ 和 $\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |}$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 100)}{| x^{2} - 100 |} x$

解题步骤 4.1.2.4.3

组合 $\frac{2 (x^{2} - 100)}{| x^{2} - 100 |}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 100) x}{| x^{2} - 100 |}$

解题步骤 4.1.3

化简。

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解题步骤 4.1.3.1

运用分配律。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 100) x}{| x^{2} - 100 |}$

解题步骤 4.1.3.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

解题步骤 4.1.3.3

化简每一项。

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解题步骤 4.1.3.3.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.3.3.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

解题步骤 4.1.3.3.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.3.3.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

解题步骤 4.1.3.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

解题步骤 4.1.3.3.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

解题步骤 4.1.3.3.2

将 $2$ 乘以 $- 100$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |}$ 。

$\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$2 x^{3} - 200 x = 0$

解题步骤 5.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.3.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.3.1.1

从 $2 x^{3} - 200 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 5.3.1.1.1

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$2 x (x^{2}) - 200 x = 0$

解题步骤 5.3.1.1.2

从 $- 200 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 100) = 0$

解题步骤 5.3.1.1.3

从 $2 x (x^{2}) + 2 x (- 100)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$2 x (x^{2} - 100) = 0$

解题步骤 5.3.1.2

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$2 x (x^{2} - 10^{2}) = 0$

解题步骤 5.3.1.3

因数。

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解题步骤 5.3.1.3.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 10$ 。

$2 x ((x + 10) (x - 10)) = 0$

解题步骤 5.3.1.3.2

去掉多余的括号。

$2 x (x + 10) (x - 10) = 0$

解题步骤 5.3.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 10 = 0$

$x - 10 = 0$

解题步骤 5.3.3

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.3.4

将 $x + 10$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $x + 10$ 设为等于 $0$ 。

$x + 10 = 0$

解题步骤 5.3.4.2

从等式两边同时减去 $10$ 。

$x = - 10$

解题步骤 5.3.5

将 $x - 10$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.5.1

将 $x - 10$ 设为等于 $0$ 。

$x - 10 = 0$

解题步骤 5.3.5.2

在等式两边都加上 $10$ 。

$x = 10$

解题步骤 5.3.6

最终解为使 $2 x (x + 10) (x - 10) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 10, 10$

解题步骤 5.4

排除不能使 $\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |} = 0$ 成立的解。

$x = 0$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$| x^{2} - 100 | = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x^{2} - 100 = \pm 0$

解题步骤 6.2.2

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x^{2} - 100 = 0$

解题步骤 6.2.3

在等式两边都加上 $100$ 。

$x^{2} = 100$

解题步骤 6.2.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{100}$

解题步骤 6.2.5

化简 $\pm \sqrt{100}$ 。

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解题步骤 6.2.5.1

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{10^{2}}$

解题步骤 6.2.5.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 10$

解题步骤 6.2.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.2.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 10$

解题步骤 6.2.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 10$

解题步骤 6.2.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 10, - 10$

解题步骤 6.3

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x = - 10, x = 10$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, - 10, 10$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{2 (2 {(0)}^{6} - 400 {(0)}^{4} + 20000 {(0)}^{2} - 3 {(0)}^{2} | {(0)}^{4} - 200 {(0)}^{2} + 10000 | + 100 | {(0)}^{4} - 200 {(0)}^{2} + 10000 |)}{{| {(0)}^{2} - 100 |}^{2} | ((0) + 10) ((0) - 10) |}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{2 (2 \cdot 0 - 400 \cdot 0^{4} + 20000 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.1.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{2 (0 - 400 \cdot 0^{4} + 20000 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{2 (0 - 400 \cdot 0 + 20000 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.1.4

将 $- 400$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{2 (0 + 0 + 20000 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.1.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{2 (0 + 0 + 20000 \cdot 0 - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.1.6

将 $20000$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.1.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 - 3 \cdot 0 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.1.8

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.1.9

化简每一项。

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解题步骤 9.1.9.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 0 - 200 \cdot 0^{2} + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.1.9.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 0 - 200 \cdot 0 + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.1.9.3

将 $- 200$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 0 + 0 + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.1.10

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 0 + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.1.11

将 $0$ 和 $10000$ 相加。

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.1.12

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $10000$ 之间的距离为 $10000$ 。

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 \cdot 10000 + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.1.13

将 $0$ 乘以 $10000$ 。

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.1.14

化简每一项。

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解题步骤 9.1.14.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 100 | 0 - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.1.14.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 100 | 0 - 200 \cdot 0 + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.1.14.3

将 $- 200$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 100 | 0 + 0 + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.1.15

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 100 | 0 + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.1.16

将 $0$ 和 $10000$ 相加。

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 100 | 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.1.17

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $10000$ 之间的距离为 $10000$ 。

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 100 \cdot 10000)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.1.18

将 $100$ 乘以 $10000$ 。

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 1000000)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.1.19

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 1000000)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.1.20

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{2 (0 + 0 + 1000000)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.1.21

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{2 (0 + 1000000)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.1.22

将 $0$ 和 $1000000$ 相加。

$- \frac{2 \cdot 1000000}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{2 \cdot 1000000}{{| 0 - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.2.2

从 $0$ 中减去 $100$ 。

$- \frac{2 \cdot 1000000}{{| - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

解题步骤 9.2.3

将 $0$ 和 $10$ 相加。

$- \frac{2 \cdot 1000000}{{| - 100 |}^{2} | 10 (0 - 10) |}$

解题步骤 9.2.4

从 $0$ 中减去 $10$ 。

$- \frac{2 \cdot 1000000}{{| - 100 |}^{2} | 10 \cdot - 10 |}$

解题步骤 9.2.5

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 100$ 和 $0$ 之间的距离为 $100$ 。

$- \frac{2 \cdot 1000000}{100^{2} | 10 \cdot - 10 |}$

解题步骤 9.2.6

对 $100$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{2 \cdot 1000000}{10000 | 10 \cdot - 10 |}$

解题步骤 9.2.7

将 $10$ 乘以 $- 10$ 。

$- \frac{2 \cdot 1000000}{10000 | - 100 |}$

解题步骤 9.2.8

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 100$ 和 $0$ 之间的距离为 $100$ 。

$- \frac{2 \cdot 1000000}{10000 \cdot 100}$

解题步骤 9.3

化简表达式。

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解题步骤 9.3.1

将 $2$ 乘以 $1000000$ 。

$- \frac{2000000}{10000 \cdot 100}$

解题步骤 9.3.2

将 $10000$ 乘以 $100$ 。

$- \frac{2000000}{1000000}$

解题步骤 9.3.3

用 $2000000$ 除以 $1000000$ 。

$- 1 \cdot 2$

解题步骤 9.3.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = | {(0)}^{2} - 100 |$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = | 0 - 100 |$

解题步骤 11.2.2

从 $0$ 中减去 $100$ 。

$f (0) = | - 100 |$

解题步骤 11.2.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 100$ 和 $0$ 之间的距离为 $100$ 。

$f (0) = 100$

解题步骤 11.2.4

最终答案为 $100$ 。

$y = 100$

解题步骤 12

计算在 $x = - 10$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{{| {(- 10)}^{2} - 100 |}^{2} | ((- 10) + 10) ((- 10) - 10) |}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{{| 100 - 100 |}^{2} | ((- 10) + 10) ((- 10) - 10) |}$

解题步骤 13.2

从 $100$ 中减去 $100$ 。

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{{| 0 |}^{2} | ((- 10) + 10) ((- 10) - 10) |}$

解题步骤 13.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $0$ 之间的距离为 $0$ 。

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{0^{2} | ((- 10) + 10) ((- 10) - 10) |}$

解题步骤 13.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{0 | ((- 10) + 10) ((- 10) - 10) |}$

解题步骤 13.5

将 $- 10$ 和 $10$ 相加。

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{0 | 0 ((- 10) - 10) |}$

解题步骤 13.6

从 $- 10$ 中减去 $10$ 。

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{0 | 0 \cdot - 20 |}$

解题步骤 13.7

将 $0$ 乘以 $- 20$ 。

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{0 | 0 |}$

解题步骤 13.8

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $0$ 之间的距离为 $0$ 。

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{0 \cdot 0}$

解题步骤 13.9

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{0}$

解题步骤 13.10

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 14

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 14.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, 0) \cup (0, 10) \cup (10, \infty)$

解题步骤 14.2

将区间 $(- \infty, - 10)$ 内的任一数字（例如 $- 12$ ）代入一阶导数 $\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.2.1

使用表达式中的 $- 12$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 12) = \frac{2 {(- 12)}^{3} - 200 \cdot - 12}{| {(- 12)}^{2} - 100 |}$

解题步骤 14.2.2

化简结果。

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解题步骤 14.2.2.1

化简分子。

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解题步骤 14.2.2.1.1

对 $- 12$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 12) = \frac{2 \cdot - 1728 - 200 \cdot - 12}{| {(- 12)}^{2} - 100 |}$

解题步骤 14.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1728$ 。

$f' (- 12) = \frac{- 3456 - 200 \cdot - 12}{| {(- 12)}^{2} - 100 |}$

解题步骤 14.2.2.1.3

将 $- 200$ 乘以 $- 12$ 。

$f' (- 12) = \frac{- 3456 + 2400}{| {(- 12)}^{2} - 100 |}$

解题步骤 14.2.2.1.4

将 $- 3456$ 和 $2400$ 相加。

$f' (- 12) = \frac{- 1056}{| {(- 12)}^{2} - 100 |}$

解题步骤 14.2.2.2

化简分母。

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解题步骤 14.2.2.2.1

对 $- 12$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 12) = \frac{- 1056}{| 144 - 100 |}$

解题步骤 14.2.2.2.2

从 $144$ 中减去 $100$ 。

$f' (- 12) = \frac{- 1056}{| 44 |}$

解题步骤 14.2.2.2.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $44$ 之间的距离为 $44$ 。

$f' (- 12) = \frac{- 1056}{44}$

解题步骤 14.2.2.3

用 $- 1056$ 除以 $44$ 。

$f' (- 12) = - 24$

解题步骤 14.2.2.4

最终答案为 $- 24$ 。

$- 24$

解题步骤 14.3

将区间 $(- 10, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 5$ ）代入一阶导数 $\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.3.1

使用表达式中的 $- 5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 5) = \frac{2 {(- 5)}^{3} - 200 \cdot - 5}{| {(- 5)}^{2} - 100 |}$

解题步骤 14.3.2

化简结果。

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解题步骤 14.3.2.1

化简分子。

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解题步骤 14.3.2.1.1

对 $- 5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 5) = \frac{2 \cdot - 125 - 200 \cdot - 5}{| {(- 5)}^{2} - 100 |}$

解题步骤 14.3.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 125$ 。

$f' (- 5) = \frac{- 250 - 200 \cdot - 5}{| {(- 5)}^{2} - 100 |}$

解题步骤 14.3.2.1.3

将 $- 200$ 乘以 $- 5$ 。

$f' (- 5) = \frac{- 250 + 1000}{| {(- 5)}^{2} - 100 |}$

解题步骤 14.3.2.1.4

将 $- 250$ 和 $1000$ 相加。

$f' (- 5) = \frac{750}{| {(- 5)}^{2} - 100 |}$

解题步骤 14.3.2.2

化简分母。

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解题步骤 14.3.2.2.1

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 5) = \frac{750}{| 25 - 100 |}$

解题步骤 14.3.2.2.2

从 $25$ 中减去 $100$ 。

$f' (- 5) = \frac{750}{| - 75 |}$

解题步骤 14.3.2.2.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 75$ 和 $0$ 之间的距离为 $75$ 。

$f' (- 5) = \frac{750}{75}$

解题步骤 14.3.2.3

用 $750$ 除以 $75$ 。

$f' (- 5) = 10$

解题步骤 14.3.2.4

最终答案为 $10$ 。

$10$

解题步骤 14.4

将区间 $(0, 10)$ 内的任一数字（例如 $5$ ）代入一阶导数 $\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.4.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (5) = \frac{2 {(5)}^{3} - 200 \cdot 5}{| {(5)}^{2} - 100 |}$

解题步骤 14.4.2

化简结果。

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解题步骤 14.4.2.1

化简分子。

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解题步骤 14.4.2.1.1

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (5) = \frac{2 \cdot 125 - 200 \cdot 5}{| 5^{2} - 100 |}$

解题步骤 14.4.2.1.2

将 $2$ 乘以 $125$ 。

$f' (5) = \frac{250 - 200 \cdot 5}{| 5^{2} - 100 |}$

解题步骤 14.4.2.1.3

将 $- 200$ 乘以 $5$ 。

$f' (5) = \frac{250 - 1000}{| 5^{2} - 100 |}$

解题步骤 14.4.2.1.4

从 $250$ 中减去 $1000$ 。

$f' (5) = \frac{- 750}{| 5^{2} - 100 |}$

解题步骤 14.4.2.2

化简分母。

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解题步骤 14.4.2.2.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (5) = \frac{- 750}{| 25 - 100 |}$

解题步骤 14.4.2.2.2

从 $25$ 中减去 $100$ 。

$f' (5) = \frac{- 750}{| - 75 |}$

解题步骤 14.4.2.2.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 75$ 和 $0$ 之间的距离为 $75$ 。

$f' (5) = \frac{- 750}{75}$

解题步骤 14.4.2.3

用 $- 750$ 除以 $75$ 。

$f' (5) = - 10$

解题步骤 14.4.2.4

最终答案为 $- 10$ 。

$- 10$

解题步骤 14.5

将区间 $(10, \infty)$ 内的任一数字（例如 $12$ ）代入一阶导数 $\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.5.1

使用表达式中的 $12$ 替换变量 $x$ 。

$f' (12) = \frac{2 {(12)}^{3} - 200 \cdot 12}{| {(12)}^{2} - 100 |}$

解题步骤 14.5.2

化简结果。

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解题步骤 14.5.2.1

化简分子。

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解题步骤 14.5.2.1.1

对 $12$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (12) = \frac{2 \cdot 1728 - 200 \cdot 12}{| 12^{2} - 100 |}$

解题步骤 14.5.2.1.2

将 $2$ 乘以 $1728$ 。

$f' (12) = \frac{3456 - 200 \cdot 12}{| 12^{2} - 100 |}$

解题步骤 14.5.2.1.3

将 $- 200$ 乘以 $12$ 。

$f' (12) = \frac{3456 - 2400}{| 12^{2} - 100 |}$

解题步骤 14.5.2.1.4

从 $3456$ 中减去 $2400$ 。

$f' (12) = \frac{1056}{| 12^{2} - 100 |}$

解题步骤 14.5.2.2

化简分母。

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解题步骤 14.5.2.2.1

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (12) = \frac{1056}{| 144 - 100 |}$

解题步骤 14.5.2.2.2

从 $144$ 中减去 $100$ 。

$f' (12) = \frac{1056}{| 44 |}$

解题步骤 14.5.2.2.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $44$ 之间的距离为 $44$ 。

$f' (12) = \frac{1056}{44}$

解题步骤 14.5.2.3

用 $1056$ 除以 $44$ 。

$f' (12) = 24$

解题步骤 14.5.2.4

最终答案为 $24$ 。

$24$

解题步骤 14.6

由于一阶导数在 $x = - 10$ 周围从负号变为正号，因此 $x = - 10$ 是极小值。

$x = - 10$ 是一个极小值

解题步骤 14.7

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围从正号变为负号，因此 $x = 0$ 是极大值。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 14.8

由于一阶导数在 $x = 10$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 10$ 是极小值。

$x = 10$ 是一个极小值

解题步骤 14.9

这些是 $f (x) = | x^{2} - 100 |$ 的局部极值。

$x = - 10$ 是一个极小值

$x = 0$ 是一个极大值

$x = 10$ 是一个极小值

$x = - 10$ 是一个极小值

$x = 0$ 是一个极大值

$x = 10$ 是一个极小值

解题步骤 15

微积分学 示例

微积分学示例