微积分学示例

$f (x) = x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{2 - x^{3}}$ 重写成 ${(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = 2 - x^{3}$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 - x^{3}$ 。

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$1 + \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.3

使用 $2 - x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

解题步骤 1.2.3

根据加法法则， $2 - x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

解题步骤 1.2.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

解题步骤 1.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))$

解题步骤 1.2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

解题步骤 1.2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

解题步骤 1.2.9

在公分母上合并分子。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

解题步骤 1.2.10

化简分子。

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解题步骤 1.2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

解题步骤 1.2.10.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

解题步骤 1.2.11

将负号移到分数的前面。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

解题步骤 1.2.12

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - 3 x^{2})$

解题步骤 1.2.13

从 $0$ 中减去 $3 x^{2}$ 。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (- 3 x^{2})$

解题步骤 1.2.14

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$1 + \frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- 3 x^{2})$

解题步骤 1.2.15

组合 $- 3$ 和 $\frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} x^{2}$

解题步骤 1.2.16

组合 $\frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} x^{2}}{3}$

解题步骤 1.2.17

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$1 + \frac{- 3 x^{2}}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.18

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.19

约去公因数。

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解题步骤 1.2.19.1

从 $3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 1.2.19.2

约去公因数。

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.19.3

重写表达式。

$1 + \frac{- x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.20

将负号移到分数的前面。

$1 - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.3

重新排序项。

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = 2 - x^{3}$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 - x^{3}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (2 - x^{3}))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (2 - x^{3}))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.4.3

使用 $2 - x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (2 - x^{3}))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.5

根据加法法则， $2 - x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- x^{3}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{3}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} x^{3})))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

解题步骤 2.2.10

将 $2$ 移到 ${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.11

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.12

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.13

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.14

化简分子。

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解题步骤 2.2.14.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2 - 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.14.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{- 1}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.15

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.16

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}} (0 - 3 x^{2})))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.17

从 $0$ 中减去 $3 x^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}} (- 3 x^{2})))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.18

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot (- 3 x^{2}))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.19

组合 $- 3$ 和 $\frac{2 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{- 3 (2 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}})}{3} \cdot x^{2})}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.20

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{- 6 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot x^{2})}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.21

组合 $\frac{- 6 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} \frac{- 6 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}} x^{2}}{3}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.22

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} \frac{- 6 x^{2}}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.23

从 $- 6 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} \frac{3 (- 2 x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.24

约去公因数。

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解题步骤 2.2.24.1

从 $3 {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} \frac{3 (- 2 x^{2})}{3 ({(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.24.2

约去公因数。

解题步骤 2.2.24.3

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} \frac{- 2 x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.25

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (- \frac{2 x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}})}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.26

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + 1 x^{2} (\frac{2 x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}})}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.27

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + x^{2} (\frac{2 x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}})}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.28

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{2 x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{x^{2} (2 x^{2})}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.29

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.29.1

移动 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{x^{2} x^{2} \cdot 2}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.29.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{x^{2 + 2} \cdot 2}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.29.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{x^{4} \cdot 2}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.30

将 $2$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{2 \cdot x^{4}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.31

将 $2$ 和 $- x^{3}$ 重新排序。

$f'' (x) = - \frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.32

要将 $2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}} {(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.33

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}} {(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.34

通过指数相加将 ${(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}}$ 乘以 ${(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 2.2.34.1

移动 ${(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x ({(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}} {(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}}) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.34.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.34.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{1 + 2}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.34.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{3}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.34.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.35

化简 $2 x {(- x^{3} + 2)}^{1}$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.36

将 ${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.36.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.36.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.2.36.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.36.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.37

将 $\frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = - (\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{{(2 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}) + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.38

将 $\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 乘以 $\frac{1}{{(2 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}} {(2 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.39

重新排序项。

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}} {(- x^{3} + 2)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.40

通过指数相加将 ${(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 ${(- x^{3} + 2)}^{\frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 2.2.40.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.40.2

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1 + 4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.40.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.41

将 $\frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.42

将 $- \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3}) + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

解题步骤 2.4.2

合并项。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 2 x \cdot x^{3} + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

解题步骤 2.4.2.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.4.2.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 2 (x^{3} x) + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

解题步骤 2.4.2.2.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{- 2 (x^{3} x) + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

解题步骤 2.4.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3 + 1} + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

解题步骤 2.4.2.2.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{4} + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

解题步骤 2.4.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{4} + 4 x + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

解题步骤 2.4.2.4

将 $- 2 x^{4}$ 和 $2 x^{4}$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{4 x + 0}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

解题步骤 2.4.2.5

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{4 x}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

解题步骤 2.4.2.6

将 $- \frac{4 x}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{4 x}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{2 - x^{3}}$ 重写成 ${(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = 2 - x^{3}$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 - x^{3}$ 。

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

解题步骤 4.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$1 + \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

解题步骤 4.1.2.2.3

使用 $2 - x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

解题步骤 4.1.2.3

根据加法法则， $2 - x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

解题步骤 4.1.2.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

解题步骤 4.1.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 4.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))$

解题步骤 4.1.2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

解题步骤 4.1.2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

解题步骤 4.1.2.9

在公分母上合并分子。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

解题步骤 4.1.2.10

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

解题步骤 4.1.2.10.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

解题步骤 4.1.2.11

将负号移到分数的前面。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

解题步骤 4.1.2.12

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - 3 x^{2})$

解题步骤 4.1.2.13

从 $0$ 中减去 $3 x^{2}$ 。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (- 3 x^{2})$

解题步骤 4.1.2.14

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$1 + \frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- 3 x^{2})$

解题步骤 4.1.2.15

组合 $- 3$ 和 $\frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} x^{2}$

解题步骤 4.1.2.16

组合 $\frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} x^{2}}{3}$

解题步骤 4.1.2.17

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$1 + \frac{- 3 x^{2}}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.2.18

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.2.19

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.19.1

从 $3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 4.1.2.19.2

约去公因数。

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.2.19.3

重写表达式。

$1 + \frac{- x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.2.20

将负号移到分数的前面。

$1 - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.3

重新排序项。

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ 。

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$

解题步骤 5.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x = 1$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$- \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}} + 1$

解题步骤 6.2

将 $\frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}} = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}$ 重写成 ${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ 。

${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

将 ${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1.2.1

约去公因数。

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2.2

重写表达式。

${(2 - x^{3})}^{2} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

${(2 - x^{3})}^{2} = 0$

解题步骤 6.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

将 $2 - x^{3}$ 设为等于 $0$ 。

$2 - x^{3} = 0$

解题步骤 6.3.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.3.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$- x^{3} = - 2$

解题步骤 6.3.3.2.2

将 $- x^{3} = - 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.3.3.2.2.1

将 $- x^{3} = - 2$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{3}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 6.3.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.3.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{3}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 6.3.3.2.2.2.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$x^{3} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 6.3.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.2.2.3.1

用 $- 2$ 除以 $- 1$ 。

$x^{3} = 2$

解题步骤 6.3.3.2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{2}$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 1, \sqrt[3]{2}$

解题步骤 8

计算在 $x = 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{4 (1)}{{(- {(1)}^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{4}{{(- 1^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$- \frac{4}{{(- 1 \cdot 1 + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{4}{{(- 1 + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.2.2

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{4}{1^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.2.3

一的任意次幂都为一。

$- \frac{4}{1}$

解题步骤 9.3

化简表达式。

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解题步骤 9.3.1

用 $4$ 除以 $1$ 。

$- 1 \cdot 4$

解题步骤 9.3.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 1$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = (1) + \sqrt[3]{2 - {(1)}^{3}}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 + \sqrt[3]{2 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 11.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 1 + \sqrt[3]{2 - 1}$

解题步骤 11.2.1.3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$f (1) = 1 + \sqrt[3]{1}$

解题步骤 11.2.1.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (1) = 1 + 1$

解题步骤 11.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = 2$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $2$ 。

$y = 2$

解题步骤 12

计算在 $x = \sqrt[3]{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- {(\sqrt[3]{2})}^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

去掉圆括号。

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- {\sqrt[3]{2}}^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.2

将 ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 13.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{3}}$ 。

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- {(2^{\frac{1}{3}})}^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 2^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.2.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 2^{\frac{3}{3}} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.2.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.2.4.1

约去公因数。

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 2^{\frac{3}{3}} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.2.4.2

重写表达式。

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 2^{1} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.2.5

计算指数。

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 1 \cdot 2 + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 2 + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 13.2.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.2.2

化简表达式。

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解题步骤 13.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

解题步骤 13.2.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.3.1

约去公因数。

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

解题步骤 13.2.3.2

重写表达式。

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0^{5}}$

解题步骤 13.2.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0}$

解题步骤 13.2.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0}$

解题步骤 13.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 14

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 14.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 1) \cup (1, \sqrt[3]{2}) \cup (\sqrt[3]{2}, \infty)$

解题步骤 14.2

将区间 $(- \infty, 1)$ 内的任一数字（例如 $0$ ）代入一阶导数 $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.2.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{{(2 - {(0)}^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

解题步骤 14.2.2

化简结果。

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解题步骤 14.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 14.2.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = - \frac{0}{{(2 - 0^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

解题步骤 14.2.2.1.2

化简分母。

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解题步骤 14.2.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 14.2.2.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = - \frac{0}{{(2 - 0)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

解题步骤 14.2.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = - \frac{0}{{(2 + 0)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

解题步骤 14.2.2.1.2.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f' (0) = - \frac{0}{2^{\frac{2}{3}}} + 1$

解题步骤 14.2.2.1.3

用 $0$ 除以 $2^{\frac{2}{3}}$ 。

$f' (0) = - 0 + 1$

解题步骤 14.2.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 0 + 1$

解题步骤 14.2.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f' (0) = 1$

解题步骤 14.2.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 14.3

将区间 $(1, \sqrt[3]{2})$ 内的任一数字（例如 $1.13$ ）代入一阶导数 $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.3.1

使用表达式中的 $1.13$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1.13) = - \frac{{(1.13)}^{2}}{{(2 - {(1.13)}^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

解题步骤 14.3.2

化简结果。

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解题步骤 14.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 14.3.2.1.1

对 $1.13$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (1.13) = - \frac{1.2769}{{(2 - {1.13}^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

解题步骤 14.3.2.1.2

化简分母。

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解题步骤 14.3.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 14.3.2.1.2.1.1

对 $1.13$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (1.13) = - \frac{1.2769}{{(2 - 1 \cdot 1.442897)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

解题步骤 14.3.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1.442897$ 。

$f' (1.13) = - \frac{1.2769}{{(2 - 1.442897)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

解题步骤 14.3.2.1.2.2

从 $2$ 中减去 $1.442897$ 。

$f' (1.13) = - \frac{1.2769}{{0.557103}^{\frac{2}{3}}} + 1$

解题步骤 14.3.2.1.2.3

对 $0.557103$ 进行 $\frac{2}{3}$ 次方运算。

$f' (1.13) = - \frac{1.2769}{0.67705455} + 1$

解题步骤 14.3.2.1.3

用 $1.2769$ 除以 $0.67705455$ 。

$f' (1.13) = - 1 \cdot 1.88596323 + 1$

解题步骤 14.3.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1.88596323$ 。

$f' (1.13) = - 1.88596323 + 1$

解题步骤 14.3.2.2

将 $- 1.88596323$ 和 $1$ 相加。

$f' (1.13) = - 0.88596323$

解题步骤 14.3.2.3

最终答案为 $- 0.88596323$ 。

$- 0.88596323$

解题步骤 14.4

将区间 $(\sqrt[3]{2}, \infty)$ 内的任一数字（例如 $4$ ）代入一阶导数 $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.4.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = - \frac{{(4)}^{2}}{{(2 - {(4)}^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

解题步骤 14.4.2

化简结果。

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解题步骤 14.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 14.4.2.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (4) = - \frac{16}{{(2 - 4^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

解题步骤 14.4.2.1.2

化简分母。

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解题步骤 14.4.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 14.4.2.1.2.1.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (4) = - \frac{16}{{(2 - 1 \cdot 64)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

解题步骤 14.4.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $64$ 。

$f' (4) = - \frac{16}{{(2 - 64)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

解题步骤 14.4.2.1.2.2

从 $2$ 中减去 $64$ 。

$f' (4) = - \frac{16}{{(- 62)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

解题步骤 14.4.2.2

最终答案为 $- \frac{16}{{(- 62)}^{\frac{2}{3}}} + 1$ 。

$- \frac{16}{{(- 62)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

解题步骤 14.5

由于一阶导数在 $x = 1$ 周围从正号变为负号，因此 $x = 1$ 是极大值。

$x = 1$ 是一个极大值

解题步骤 14.6

由于一阶导数在 $x = \sqrt[3]{2}$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 14.7

这些是 $f (x) = x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ 的局部极值。

$x = 1$ 是一个极大值

解题步骤 15

微积分学 示例

微积分学示例