微积分学示例

$f (x) = 10 x \ln (| x |)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x \ln (| x |)$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$ 。

$10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (| x |)$ 。

$10 (x \frac{d}{d x} [\ln (| x |)] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = | x |$ 。

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解题步骤 1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $| x |$ 。

$10 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$10 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.3

使用 $| x |$ 替换所有出现的 $u$ 。

$10 (x (\frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4

组合 $\frac{1}{| x |}$ 和 $x$ 。

$10 (\frac{x}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.5

$| x |$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{x}{| x |}$ 。

$10 (\frac{x}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.6

将 $\frac{x}{| x |}$ 乘以 $\frac{x}{| x |}$ 。

$10 (\frac{x \cdot x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 (\frac{x^{1} x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 (\frac{x^{1} x^{1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$10 (\frac{x^{1 + 1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$10 (\frac{x^{2}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.11

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$10 (\frac{x^{2}}{| x \cdot x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.13

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x^{1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1 + 1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.15

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \cdot 1)$

解题步骤 1.17

将 $\ln (| x |)$ 乘以 $1$ 。

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |))$

解题步骤 1.18

化简。

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解题步骤 1.18.1

运用分配律。

$10 \frac{x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

解题步骤 1.18.2

组合 $10$ 和 $\frac{x^{2}}{| x^{2} |}$ 。

$\frac{10 x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

解题步骤 1.18.3

化简每一项。

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解题步骤 1.18.3.1

从绝对值中去掉非负项。

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

解题步骤 1.18.3.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.18.3.2.1

约去公因数。

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

解题步骤 1.18.3.2.2

用 $10$ 除以 $1$ 。

$10 + 10 \ln (| x |)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $10 + 10 \ln (| x |)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [10 \ln (| x |)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10) + \frac{d}{d x} (10 \ln (| x |))$

解题步骤 2.1.2

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (10 \ln (| x |))$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [10 \ln (| x |)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 \ln (| x |)$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ 。

$f'' (x) = 0 + 10 \frac{d}{d x} (\ln (| x |))$

解题步骤 2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = | x |$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $| x |$ 。

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (| x |))$

解题步骤 2.2.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (| x |))$

解题步骤 2.2.2.3

使用 $| x |$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (| x |))$

解题步骤 2.2.3

$| x |$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{x}{| x |}$ 。

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |})$

解题步骤 2.2.4

将 $\frac{1}{| x |}$ 乘以 $\frac{x}{| x |}$ 。

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x | | x |})$

解题步骤 2.2.5

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

解题步骤 2.2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

解题步骤 2.2.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

解题步骤 2.2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x^{1 + 1} |})$

解题步骤 2.2.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x^{2} |})$

解题步骤 2.2.10

组合 $10$ 和 $\frac{x}{| x^{2} |}$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{10 x}{| x^{2} |}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $0$ 和 $\frac{10 x}{| x^{2} |}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{10 x}{| x^{2} |}$

解题步骤 2.3.2

从绝对值中去掉非负项。

$f'' (x) = \frac{10 x}{x^{2}}$

解题步骤 2.3.3

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.1

从 $10 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x^{2}}$

解题步骤 2.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x \cdot x}$

解题步骤 2.3.3.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x \cdot x}$

解题步骤 2.3.3.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{10}{x}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$10 + 10 \ln (| x |) = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x \ln (| x |)$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$ 。

$10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$

解题步骤 4.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (| x |)$ 。

$10 (x \frac{d}{d x} [\ln (| x |)] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = | x |$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $| x |$ 。

$10 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$10 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.3.3

使用 $| x |$ 替换所有出现的 $u$ 。

$10 (x (\frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.4

组合 $\frac{1}{| x |}$ 和 $x$ 。

$10 (\frac{x}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.5

$| x |$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{x}{| x |}$ 。

$10 (\frac{x}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.6

将 $\frac{x}{| x |}$ 乘以 $\frac{x}{| x |}$ 。

$10 (\frac{x \cdot x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 (\frac{x^{1} x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 (\frac{x^{1} x^{1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$10 (\frac{x^{1 + 1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$10 (\frac{x^{2}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.11

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$10 (\frac{x^{2}}{| x \cdot x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.13

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x^{1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1 + 1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.15

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \cdot 1)$

解题步骤 4.1.17

将 $\ln (| x |)$ 乘以 $1$ 。

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |))$

解题步骤 4.1.18

化简。

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解题步骤 4.1.18.1

运用分配律。

$10 \frac{x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

解题步骤 4.1.18.2

组合 $10$ 和 $\frac{x^{2}}{| x^{2} |}$ 。

$\frac{10 x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

解题步骤 4.1.18.3

化简每一项。

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解题步骤 4.1.18.3.1

从绝对值中去掉非负项。

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

解题步骤 4.1.18.3.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.18.3.2.1

约去公因数。

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

解题步骤 4.1.18.3.2.2

用 $10$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = 10 + 10 \ln (| x |)$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $10 + 10 \ln (| x |)$ 。

$10 + 10 \ln (| x |)$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $10 + 10 \ln (| x |) = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$10 + 10 \ln (| x |) = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $10$ 。

$10 \ln (| x |) = - 10$

解题步骤 5.3

将 $10 \ln (| x |) = - 10$ 中的每一项除以 $10$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $10 \ln (| x |) = - 10$ 中的每一项都除以 $10$ 。

$\frac{10 \ln (| x |)}{10} = \frac{- 10}{10}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{10 \ln (| x |)}{10} = \frac{- 10}{10}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $\ln (| x |)$ 除以 $1$ 。

$\ln (| x |) = \frac{- 10}{10}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

用 $- 10$ 除以 $10$ 。

$\ln (| x |) = - 1$

解题步骤 5.4

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| x |)} = e^{- 1}$

解题步骤 5.5

使用对数的定义将 $\ln (| x |) = - 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- 1} = | x |$

解题步骤 5.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.6.1

将方程重写为 $| x | = e^{- 1}$ 。

$| x | = e^{- 1}$

解题步骤 5.6.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$| x | = \frac{1}{e}$

解题步骤 5.6.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x = \pm \frac{1}{e}$

解题步骤 5.6.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.6.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{1}{e}$

解题步骤 5.6.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{1}{e}$

解题步骤 5.6.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将 $\ln (| x |)$ 中的参数设为小于等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$| x | \leq 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1

将 $| x | \leq 0$ 书写为分段式。

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解题步骤 6.2.1.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 6.2.1.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \leq 0$

解题步骤 6.2.1.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 6.2.1.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \leq 0$

解题步骤 6.2.1.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 6.2.2

求 $x \leq 0$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$x = 0$

解题步骤 6.2.3

当 $x < 0$ 时求解 $- x \leq 0$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $- x \leq 0$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.2.3.1.1

将 $- x \leq 0$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

解题步骤 6.2.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.3.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

解题步骤 6.2.3.1.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{0}{- 1}$

解题步骤 6.2.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $- 1$ 。

$x \geq 0$

解题步骤 6.2.3.2

求 $x \geq 0$ 和 $x < 0$ 的交点。

无解

解题步骤 6.2.4

求解的并集。

$x = 0$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

解题步骤 8

计算在 $x = \frac{1}{e}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{10}{\frac{1}{e}}$

解题步骤 9

将分子乘以分母的倒数。

$10 e$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{1}{e}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{1}{e}$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = \frac{1}{e}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\frac{1}{e}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{1}{e}) = 10 (\frac{1}{e}) \ln (| \frac{1}{e} |)$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

组合 $10$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (| \frac{1}{e} |)$

解题步骤 11.2.2

$\frac{1}{e}$ 约为 $0.36787944$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e})$

解题步骤 11.2.3

将 $\frac{1}{e}$ 重写为 $1 e^{- 1}$ 。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

解题步骤 11.2.4

将 $\ln (1 e^{- 1})$ 重写为 $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ 。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

解题步骤 11.2.5

使用对数规则把 $- 1$ 移到指数外部。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

解题步骤 11.2.6

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

解题步骤 11.2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

解题步骤 11.2.8

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (0 - 1)$

解题步骤 11.2.9

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot - 1$

解题步骤 11.2.10

乘以 $\frac{10}{e} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 11.2.10.1

组合 $\frac{10}{e}$ 和 $- 1$ 。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10 \cdot - 1}{e}$

解题步骤 11.2.10.2

将 $10$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 10}{e}$

解题步骤 11.2.11

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{10}{e}$

解题步骤 11.2.12

最终答案为 $- \frac{10}{e}$ 。

$y = - \frac{10}{e}$

解题步骤 12

计算在 $x = - \frac{1}{e}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{10}{- \frac{1}{e}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

将分子乘以分母的倒数。

$10 (- e)$

解题步骤 13.2

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$- 10 e$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - \frac{1}{e}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{1}{e}$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = - \frac{1}{e}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- \frac{1}{e}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{1}{e}) = 10 (- \frac{1}{e}) \ln (| - \frac{1}{e} |)$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

乘以 $10 (- \frac{1}{e})$ 。

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解题步骤 15.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$f (- \frac{1}{e}) = - 10 \frac{1}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

解题步骤 15.2.1.2

组合 $- 10$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{- 10}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

解题步骤 15.2.2

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

解题步骤 15.2.3

$- \frac{1}{e}$ 约为 $- 0.36787944$ ，因其为负数，所以对 $- \frac{1}{e}$ 取反并去掉绝对值

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e})$

解题步骤 15.2.4

将 $\frac{1}{e}$ 重写为 $1 e^{- 1}$ 。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

解题步骤 15.2.5

将 $\ln (1 e^{- 1})$ 重写为 $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ 。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

解题步骤 15.2.6

使用对数规则把 $- 1$ 移到指数外部。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

解题步骤 15.2.7

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

解题步骤 15.2.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

解题步骤 15.2.9

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (0 - 1)$

解题步骤 15.2.10

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot - 1$

解题步骤 15.2.11

乘以 $- \frac{10}{e} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 15.2.11.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{1}{e}) = 1 (\frac{10}{e})$

解题步骤 15.2.11.2

将 $\frac{10}{e}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{10}{e}$

解题步骤 15.2.12

最终答案为 $\frac{10}{e}$ 。

$y = \frac{10}{e}$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = 10 x \ln (| x |)$ 的局部极值。

$(\frac{1}{e}, - \frac{10}{e})$ 是一个局部最小值

$(- \frac{1}{e}, \frac{10}{e})$ 是一个局部最大值

解题步骤 17

微积分学 示例

微积分学示例