微积分学示例

$(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{(\frac{8}{3})} + 4 {(x - 2)}^{(\frac{2}{3})}$

解题步骤 1

将 $(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{(\frac{8}{3})} + 4 {(x - 2)}^{(\frac{2}{3})}$ 书写为一个函数。

$f (x) = (- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{(\frac{8}{3})} + 4 {(x - 2)}^{(\frac{2}{3})}$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

组合 ${(x - 2)}^{\frac{8}{3}}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}}{4}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.2.2

因为 $- \frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}]$ 。

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{8}{3}}$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x - 2$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{8}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{8}{3}$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {u_{1}}^{\frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.2.4

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.2.6

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.2.9

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.2.10

化简分子。

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解题步骤 2.2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.2.10.2

从 $8$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.2.11

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.2.12

组合 $\frac{8}{3}$ 和 ${(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.2.13

将 $\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.2.14

将 $\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.2.15

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{12} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.2.16

从 $8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{12} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.2.17

约去公因数。

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解题步骤 2.2.17.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{4 (3)} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.2.17.2

约去公因数。

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.2.17.3

重写表达式。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x - 2$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

解题步骤 2.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

解题步骤 2.3.3

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

解题步骤 2.3.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

解题步骤 2.3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

解题步骤 2.3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

解题步骤 2.3.8

在公分母上合并分子。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

解题步骤 2.3.9

化简分子。

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解题步骤 2.3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))$

解题步骤 2.3.9.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))$

解题步骤 2.3.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))$

解题步骤 2.3.11

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1)$

解题步骤 2.3.12

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1)$

解题步骤 2.3.13

将 $\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 2.3.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.3.15

组合 $4$ 和 $\frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.3.16

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

合并项。

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解题步骤 2.4.1.1

要将 $- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.4.1.2

将 $\frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ 乘以 $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.4.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.4.1.4

通过指数相加将 ${(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ 乘以 ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 2.4.1.4.1

移动 ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{- 2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}) + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.4.1.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{5}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.4.1.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{1 + 5}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.4.1.4.4

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{6}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.4.1.4.5

用 $6$ 除以 $3$ 。

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.4.2

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.1

从 $- 2 {(x - 2)}^{2} + 8$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.4.2.1.1

从 $- 2 {(x - 2)}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2}) + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.4.2.1.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2}) + 2 (4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.4.2.1.3

从 $2 (- {(x - 2)}^{2}) + 2 (4)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2} + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.4.2.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2} + 2^{2})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.4.2.3

将 $- {(x - 2)}^{2}$ 和 $2^{2}$ 重新排序。

$\frac{2 (2^{2} - {(x - 2)}^{2})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.4.2.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = x - 2$ 。

$\frac{2 ((2 + x - 2) (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.4.2.5

化简。

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解题步骤 2.4.2.5.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{2 ((x + 0) (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.4.2.5.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.4.2.5.3

运用分配律。

$\frac{2 (x (2 - x - - 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.4.2.5.4

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{2 (x (2 - x + 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.4.2.5.5

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 (x (- x + 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

$\frac{2 x (- x + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.4.3

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 x (- (x) + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.4.4

将 $4$ 重写为 $- 1 (- 4)$ 。

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.4.5

从 $- (x) - 1 (- 4)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 x (- (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.4.6

将 $- (x - 4)$ 重写为 $- 1 (x - 4)$ 。

$\frac{2 x (- 1 (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.4.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $- \frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2 x (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}]$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x (x - 4)$ 且 $g (x) = {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x (x - 4)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 ${({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x (x - 4)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x (x - 4)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x - 4$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.5

求微分。

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解题步骤 3.5.1

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.5.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.5.4

化简表达式。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.5.4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.5.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x + (x - 4) \cdot 1) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.5.6

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.5.6.1

将 $x - 4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x + x - 4) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.5.6.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

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解题步骤 3.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.6.3

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.9

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.10

化简分子。

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解题步骤 3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.10.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.11

合并分数。

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解题步骤 3.11.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.11.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{{(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.11.4

组合 $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.12

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot ((x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot ((x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.14

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot ((x - 4) (1 + 0))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.15

合并分数。

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解题步骤 3.15.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4) \cdot 1}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.15.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.15.3

将 $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x - 4)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$f'' (x) = - \frac{({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4)) \cdot 2}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}$

解题步骤 3.15.4

重新排序。

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解题步骤 3.15.4.1

将 $2$ 移到 ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x - 4)$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}$

解题步骤 3.15.4.2

将 $3$ 移到 ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 \cdot {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16

化简。

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解题步骤 3.16.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4)) + 2 (- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2

化简分子。

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解题步骤 3.16.2.1

从 $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) + 2 (- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x - 4))$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.16.2.1.1

从 $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4)) + 2 (- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.1.2

从 $2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4)) + 2 (- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x - 4))$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.2

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot - 4 - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot - 4 - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.4

将 $- 4$ 移到 ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.5

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.6

乘以 $- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} x$ 。

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解题步骤 3.16.2.6.1

组合 $x$ 和 $\frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x \cdot x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.6.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 3.16.2.6.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 3.16.2.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{1 + 1}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.7

乘以 $- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4$ 。

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解题步骤 3.16.2.7.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 4 (\frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.7.2

组合 $4$ 和 $\frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.8

从 $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x$ 中减去 $\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

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解题步骤 3.16.2.8.1

移动 ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.8.2

要将 $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.8.3

组合 $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.8.4

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.9

要将 $- 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.10

组合 $- 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.11

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.12

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.13

化简每一项。

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解题步骤 3.16.2.13.1

通过指数相加将 ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 3.16.2.13.1.1

移动 ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.13.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.13.1.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.13.1.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.13.1.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x (x - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.13.2

化简 $2 x {(x - 2)}^{1} \cdot 3$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x (x - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.13.3

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{(2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.13.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.16.2.13.4.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{(2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.13.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{(2 x^{2} + 2 x \cdot - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.13.5

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{(2 x^{2} - 4 x) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.13.6

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x^{2} \cdot 3 - 4 x \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.13.7

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 4 x \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.13.8

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.13.9

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.13.10

通过指数相加将 ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 3.16.2.13.10.1

移动 ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.13.10.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.13.10.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.13.10.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{3}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.13.10.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 (x - 2)) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.13.11

化简 $- 4 \cdot 3 {(x - 2)}^{1}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 (x - 2)) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.13.12

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 12 (x - 2) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.13.13

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 12 x - 12 \cdot - 2 + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.13.14

将 $- 12$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 12 x + 24 + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.14

从 $6 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{5 x^{2} - 12 x - 12 x + 24 + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.15

从 $- 12 x$ 中减去 $12 x$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{5 x^{2} - 24 x + 24 + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.2.16

将 $- 24 x$ 和 $4 x$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{5 x^{2} - 20 x + 24}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.3

合并项。

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解题步骤 3.16.3.1

组合 $2$ 和 $\frac{5 x^{2} - 20 x + 24}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.3.2

将 $\frac{\frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = - (\frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 3.16.3.3

将 $\frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 3.16.3.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.3.5

通过指数相加将 ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 乘以 ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 3.16.3.5.1

移动 ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 3.16.3.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.16.3.5.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 {(x - 2)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

解题步骤 3.16.3.5.4

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

$\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 5.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}]$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

组合 ${(x - 2)}^{\frac{8}{3}}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}}{4}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 5.1.2.2

因为 $- \frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}]$ 。

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 5.1.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{8}{3}}$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

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解题步骤 5.1.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x - 2$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{8}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 5.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{8}{3}$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {u_{1}}^{\frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 5.1.2.3.3

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 5.1.2.4

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 5.1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 5.1.2.6

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 5.1.2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 5.1.2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 5.1.2.9

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 5.1.2.10

化简分子。

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解题步骤 5.1.2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 5.1.2.10.2

从 $8$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 5.1.2.11

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 5.1.2.12

组合 $\frac{8}{3}$ 和 ${(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 5.1.2.13

将 $\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 5.1.2.14

将 $\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 5.1.2.15

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{12} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 5.1.2.16

从 $8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{12} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 5.1.2.17

约去公因数。

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解题步骤 5.1.2.17.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{4 (3)} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 5.1.2.17.2

约去公因数。

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 5.1.2.17.3

重写表达式。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 5.1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

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解题步骤 5.1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x - 2$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

解题步骤 5.1.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

解题步骤 5.1.3.2.3

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

解题步骤 5.1.3.3

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

解题步骤 5.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

解题步骤 5.1.3.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

解题步骤 5.1.3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

解题步骤 5.1.3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

解题步骤 5.1.3.8

在公分母上合并分子。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

解题步骤 5.1.3.9

化简分子。

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解题步骤 5.1.3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))$

解题步骤 5.1.3.9.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))$

解题步骤 5.1.3.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))$

解题步骤 5.1.3.11

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1)$

解题步骤 5.1.3.12

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1)$

解题步骤 5.1.3.13

将 $\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 5.1.3.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.1.3.15

组合 $4$ 和 $\frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.1.3.16

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.1.4

化简。

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解题步骤 5.1.4.1

合并项。

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解题步骤 5.1.4.1.1

要将 $- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.1.4.1.2

将 $\frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ 乘以 $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.1.4.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.1.4.1.4

通过指数相加将 ${(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ 乘以 ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 5.1.4.1.4.1

移动 ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{- 2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}) + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.1.4.1.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{5}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.1.4.1.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{1 + 5}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.1.4.1.4.4

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{6}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.1.4.1.4.5

用 $6$ 除以 $3$ 。

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.1.4.2

化简分子。

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解题步骤 5.1.4.2.1

从 $- 2 {(x - 2)}^{2} + 8$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.1.4.2.1.1

从 $- 2 {(x - 2)}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2}) + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.1.4.2.1.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2}) + 2 (4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.1.4.2.1.3

从 $2 (- {(x - 2)}^{2}) + 2 (4)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2} + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.1.4.2.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2} + 2^{2})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.1.4.2.3

将 $- {(x - 2)}^{2}$ 和 $2^{2}$ 重新排序。

$\frac{2 (2^{2} - {(x - 2)}^{2})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.1.4.2.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = x - 2$ 。

$\frac{2 ((2 + x - 2) (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.1.4.2.5

化简。

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解题步骤 5.1.4.2.5.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{2 ((x + 0) (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.1.4.2.5.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.1.4.2.5.3

运用分配律。

$\frac{2 (x (2 - x - - 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.1.4.2.5.4

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{2 (x (2 - x + 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.1.4.2.5.5

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 (x (- x + 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

$\frac{2 x (- x + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.1.4.3

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 x (- (x) + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.1.4.4

将 $4$ 重写为 $- 1 (- 4)$ 。

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.1.4.5

从 $- (x) - 1 (- 4)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 x (- (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.1.4.6

将 $- (x - 4)$ 重写为 $- 1 (x - 4)$ 。

$\frac{2 x (- 1 (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.1.4.7

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

解题步骤 6.2

将分子设为等于零。

$2 x (x - 4) = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 6.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x - 4 = 0$

解题步骤 6.3.2

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6.3.3

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 6.3.3.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 6.3.4

最终解为使 $2 x (x - 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 4$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 7.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{1}}}$

解题步骤 7.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 \sqrt[3]{x - 2}}$

解题步骤 7.2

将 $\frac{(2 x) (x - 4)}{3 \sqrt[3]{x - 2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$3 \sqrt[3]{x - 2} = 0$

解题步骤 7.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${(3 \sqrt[3]{x - 2})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 7.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x - 2}$ 重写成 ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

${(3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.2.2.1

化简 ${(3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 7.3.2.2.1.1

对 $3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 运用乘积法则。

$3^{3} {({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 {({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.2.1.3

将 ${({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$27 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.2.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$27 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$27 {(x - 2)}^{1} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.2.1.4

化简。

$27 (x - 2) = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.2.1.5

运用分配律。

$27 x + 27 \cdot - 2 = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.2.1.6

将 $27$ 乘以 $- 2$ 。

$27 x - 54 = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$27 x - 54 = 0$

解题步骤 7.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.3.3.1

在等式两边都加上 $54$ 。

$27 x = 54$

解题步骤 7.3.3.2

将 $27 x = 54$ 中的每一项除以 $27$ 并化简。

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解题步骤 7.3.3.2.1

将 $27 x = 54$ 中的每一项都除以 $27$ 。

$\frac{27 x}{27} = \frac{54}{27}$

解题步骤 7.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.3.2.2.1

约去 $27$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{27 x}{27} = \frac{54}{27}$

解题步骤 7.3.3.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{54}{27}$

解题步骤 7.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.3.2.3.1

用 $54$ 除以 $27$ 。

$x = 2$

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = 0, 4, 2$

解题步骤 9

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{2 (5 {(0)}^{2} - 20 \cdot 0 + 24)}{9 {((0) - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

化简分子。

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解题步骤 10.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{2 (5 \cdot 0 - 20 \cdot 0 + 24)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 10.1.2

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{2 (0 - 20 \cdot 0 + 24)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 10.1.3

将 $- 20$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{2 (0 + 0 + 24)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 10.1.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{2 (0 + 24)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 10.1.5

将 $0$ 和 $24$ 相加。

$- \frac{2 \cdot 24}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 10.2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 10.2.1

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{2 \cdot 24}{9 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 10.2.2

将 $2$ 乘以 $24$ 。

$- \frac{48}{9 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 10.2.3

从 $48$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 (16)}{9 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 10.3

约去公因数。

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解题步骤 10.3.1

从 $9 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 (16)}{3 (3 {(- 2)}^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 10.3.2

约去公因数。

$- \frac{3 \cdot 16}{3 (3 {(- 2)}^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 10.3.3

重写表达式。

$- \frac{16}{3 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 12

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = (- \frac{1}{4}) {((0) - 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {((0) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

化简每一项。

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解题步骤 12.2.1.1

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$f (0) = - \frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {((0) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 12.2.1.2

组合 ${(- 2)}^{\frac{8}{3}}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 {((0) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 12.2.1.3

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 12.2.2

要将 $4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 12.2.3

组合 $4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}}}{4} + \frac{4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 4}{4}$

解题步骤 12.2.4

化简表达式。

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解题步骤 12.2.4.1

在公分母上合并分子。

$f (0) = \frac{- {(- 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 4}{4}$

解题步骤 12.2.4.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f (0) = \frac{- {(- 2)}^{\frac{8}{3}} + 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$

解题步骤 12.2.5

从 $- {(- 2)}^{\frac{8}{3}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (0) = \frac{- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}}) + 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$

解题步骤 12.2.6

从 $16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (0) = \frac{- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}}) - (- 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})}{4}$

解题步骤 12.2.7

从 $- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}}) - (- 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (0) = \frac{- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})}{4}$

解题步骤 12.2.8

化简表达式。

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解题步骤 12.2.8.1

将 $- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})$ 重写为 $- 1 ({(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})$ 。

$f (0) = \frac{- 1 ({(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})}{4}$

解题步骤 12.2.8.2

将负号移到分数的前面。

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$

解题步骤 12.2.9

最终答案为 $- \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$ 。

$y = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$

解题步骤 13

计算在 $x = 4$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{2 (5 {(4)}^{2} - 20 \cdot 4 + 24)}{9 {((4) - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 14

计算二阶导数。

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解题步骤 14.1

化简分子。

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解题步骤 14.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{2 (5 \cdot 16 - 20 \cdot 4 + 24)}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 14.1.2

将 $5$ 乘以 $16$ 。

$- \frac{2 (80 - 20 \cdot 4 + 24)}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 14.1.3

将 $- 20$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{2 (80 - 80 + 24)}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 14.1.4

从 $80$ 中减去 $80$ 。

$- \frac{2 (0 + 24)}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 14.1.5

将 $0$ 和 $24$ 相加。

$- \frac{2 \cdot 24}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 14.2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 14.2.1

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{2 \cdot 24}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 14.2.2

将 $2$ 乘以 $24$ 。

$- \frac{48}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 14.2.3

从 $48$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 (16)}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 14.3

约去公因数。

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解题步骤 14.3.1

从 $9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 (16)}{3 (3 \cdot 2^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 14.3.2

约去公因数。

$- \frac{3 \cdot 16}{3 (3 \cdot 2^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 14.3.3

重写表达式。

$- \frac{16}{3 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 15

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 4$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 4$ 是一个极大值

解题步骤 16

求 $x = 4$ 时的 y 值。

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解题步骤 16.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f (4) = (- \frac{1}{4}) {((4) - 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {((4) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 16.2

化简结果。

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解题步骤 16.2.1

化简每一项。

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解题步骤 16.2.1.1

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$f (4) = - \frac{1}{4} \cdot 2^{\frac{8}{3}} + 4 {((4) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 16.2.1.2

组合 $2^{\frac{8}{3}}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 {((4) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 16.2.1.3

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 16.2.1.4

乘以 $4 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 16.2.1.4.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 16.2.1.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{2 + \frac{2}{3}}$

解题步骤 16.2.1.4.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}}$

解题步骤 16.2.1.4.4

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}}$

解题步骤 16.2.1.4.5

在公分母上合并分子。

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{2 \cdot 3 + 2}{3}}$

解题步骤 16.2.1.4.6

化简分子。

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解题步骤 16.2.1.4.6.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{6 + 2}{3}}$

解题步骤 16.2.1.4.6.2

将 $6$ 和 $2$ 相加。

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{8}{3}}$

解题步骤 16.2.2

要将 $2^{\frac{8}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{8}{3}} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 16.2.3

组合 $2^{\frac{8}{3}}$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{8}{3}} \cdot 4}{4}$

解题步骤 16.2.4

在公分母上合并分子。

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3}} \cdot 4}{4}$

解题步骤 16.2.5

乘以 $2^{\frac{8}{3}} \cdot 4$ 。

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解题步骤 16.2.5.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3}} \cdot 2^{2}}{4}$

解题步骤 16.2.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3} + 2}}{4}$

解题步骤 16.2.5.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}{4}$

解题步骤 16.2.5.4

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}{4}$

解题步骤 16.2.5.5

在公分母上合并分子。

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8 + 2 \cdot 3}{3}}}{4}$

解题步骤 16.2.5.6

化简分子。

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解题步骤 16.2.5.6.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8 + 6}{3}}}{4}$

解题步骤 16.2.5.6.2

将 $8$ 和 $6$ 相加。

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{14}{3}}}{4}$

解题步骤 16.2.6

从 $- 2^{\frac{8}{3}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (4) = \frac{- (2^{\frac{8}{3}}) + 2^{\frac{14}{3}}}{4}$

解题步骤 16.2.7

从 $2^{\frac{14}{3}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (4) = \frac{- (2^{\frac{8}{3}}) - 1 (- 2^{\frac{14}{3}})}{4}$

解题步骤 16.2.8

从 $- (2^{\frac{8}{3}}) - 1 (- 2^{\frac{14}{3}})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (4) = \frac{- (2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}})}{4}$

解题步骤 16.2.9

化简表达式。

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解题步骤 16.2.9.1

将 $- (2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}})$ 重写为 $- 1 (2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}})$ 。

$f (4) = \frac{- 1 (2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}})}{4}$

解题步骤 16.2.9.2

将负号移到分数的前面。

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}}}{4}$

解题步骤 16.2.10

最终答案为 $- \frac{2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}}}{4}$ 。

$y = - \frac{2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}}}{4}$

解题步骤 17

计算在 $x = 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 {((2) - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 18

计算二阶导数。

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解题步骤 18.1

化简表达式。

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解题步骤 18.1.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 18.1.2

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 18.1.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

解题步骤 18.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 18.2.1

约去公因数。

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

解题步骤 18.2.2

重写表达式。

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0^{4}}$

解题步骤 18.3

化简表达式。

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解题步骤 18.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0}$

解题步骤 18.3.2

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{0}$

解题步骤 18.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{0}$

解题步骤 18.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 19

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 19.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

解题步骤 19.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 19.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = - \frac{(2 (- 2)) ((- 2) - 4)}{3 {((- 2) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.2.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 19.2.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (- 2) = - \frac{- 4 (- 2 - 4)}{3 {(- 2 - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.2.2.1.2

从 $- 2$ 中减去 $2$ 。

$f' (- 2) = - \frac{- 4 (- 2 - 4)}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.2.2.1.3

从 $- 2$ 中减去 $4$ 。

$f' (- 2) = - \frac{- 4 \cdot - 6}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.2.2.1.4

将 $- 4$ 乘以 $- 6$ 。

$f' (- 2) = - \frac{24}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.2.2.2

从 $24$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (- 2) = - \frac{3 \cdot 8}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.2.2.3

约去公因数。

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解题步骤 19.2.2.3.1

从 $3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (- 2) = - \frac{3 \cdot 8}{3 ({(- 4)}^{\frac{1}{3}})}$

解题步骤 19.2.2.3.2

约去公因数。

$f' (- 2) = - \frac{3 \cdot 8}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.2.2.3.3

重写表达式。

$f' (- 2) = - \frac{8}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.2.2.4

最终答案为 $- \frac{8}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$- \frac{8}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.3

将区间 $(0, 2)$ 内的任一数字（例如 $1$ ）代入一阶导数 $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 19.3.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = - \frac{(2 (1)) ((1) - 4)}{3 {((1) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.3.2

化简结果。

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解题步骤 19.3.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {(1 - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.3.2.2

化简分母。

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解题步骤 19.3.2.2.1

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.3.2.2.2

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.3.2.2.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

解题步骤 19.3.2.2.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 19.3.2.2.4.1

约去公因数。

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

解题步骤 19.3.2.2.4.2

重写表达式。

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 (- 1)}$

解题步骤 19.3.2.2.5

计算指数。

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 \cdot - 1}$

解题步骤 19.3.2.3

化简表达式。

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解题步骤 19.3.2.3.1

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 3}{3 \cdot - 1}$

解题步骤 19.3.2.3.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 3}{- 3}$

解题步骤 19.3.2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (1) = - \frac{- 6}{- 3}$

解题步骤 19.3.2.3.4

用 $- 6$ 除以 $- 3$ 。

$f' (1) = - 1 \cdot 2$

解题步骤 19.3.2.3.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (1) = - 2$

解题步骤 19.3.2.4

最终答案为 $- 2$ 。

$- 2$

解题步骤 19.4

将区间 $(2, 4)$ 内的任一数字（例如 $3$ ）代入一阶导数 $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 19.4.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3) = - \frac{(2 (3)) ((3) - 4)}{3 {((3) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.4.2

化简结果。

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解题步骤 19.4.2.1

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 19.4.2.1.1

约去公因数。

$f' (3) = - \frac{2 \cdot (3 ((3) - 4))}{3 {((3) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.4.2.1.2

重写表达式。

$f' (3) = - \frac{(2) ((3) - 4)}{{((3) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.4.2.1.3

从 $3$ 中减去 $4$ 。

$f' (3) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(3 - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.4.2.2

化简分母。

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解题步骤 19.4.2.2.1

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$f' (3) = - \frac{2 \cdot - 1}{1^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.4.2.2.2

一的任意次幂都为一。

$f' (3) = - \frac{2 \cdot - 1}{1}$

解题步骤 19.4.2.3

化简表达式。

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解题步骤 19.4.2.3.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (3) = - \frac{- 2}{1}$

解题步骤 19.4.2.3.2

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$f' (3) = 2$

解题步骤 19.4.2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (3) = 2$

解题步骤 19.4.2.4

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 19.5

将区间 $(4, \infty)$ 内的任一数字（例如 $6$ ）代入一阶导数 $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 19.5.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (6) = - \frac{(2 (6)) ((6) - 4)}{3 {((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.5.2

化简结果。

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解题步骤 19.5.2.1

从 $(2 (6)) ((6) - 4)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (6) = - \frac{3 (2 \cdot ((2) ((6) - 4)))}{3 {((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 19.5.2.2.1

从 $3 {((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (6) = - \frac{3 (2 \cdot ((2) ((6) - 4)))}{3 ({((6) - 2)}^{\frac{1}{3}})}$

解题步骤 19.5.2.2.2

约去公因数。

$f' (6) = - \frac{3 (2 \cdot ((2) ((6) - 4)))}{3 {((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.5.2.2.3

重写表达式。

$f' (6) = - \frac{2 \cdot ((2) ((6) - 4))}{{((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.5.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f' (6) = - \frac{4 (6 - 4)}{{(6 - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.5.2.4

从 $6$ 中减去 $2$ 。

$f' (6) = - \frac{4 (6 - 4)}{4^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.5.2.5

从 $6$ 中减去 $4$ 。

$f' (6) = - \frac{4 \cdot 2}{4^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.5.2.6

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f' (6) = - \frac{8}{4^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.5.2.7

最终答案为 $- \frac{8}{4^{\frac{1}{3}}}$ 。

$- \frac{8}{4^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19.6

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围从正号变为负号，因此 $x = 0$ 是极大值。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 19.7

由于一阶导数在 $x = 2$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 2$ 是极小值。

$x = 2$ 是一个极小值

解题步骤 19.8

由于一阶导数在 $x = 4$ 周围从正号变为负号，因此 $x = 4$ 是极大值。

$x = 4$ 是一个极大值

解题步骤 19.9

这些是 $f (x) = (- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 的局部极值。

$x = 0$ 是一个极大值

$x = 2$ 是一个极小值

$x = 4$ 是一个极大值

$x = 0$ 是一个极大值

$x = 2$ 是一个极小值

$x = 4$ 是一个极大值

解题步骤 20

微积分学 示例

微积分学示例