微积分学示例

$\frac{8}{x^{2} - 4 x}$

解题步骤 1

将 $\frac{8}{x^{2} - 4 x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{8}{x^{2} - 4 x}$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{8}{x^{2} - 4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4 x}]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4 x}]$

解题步骤 2.1.2

将 $\frac{1}{x^{2} - 4 x}$ 重写为 ${(x^{2} - 4 x)}^{- 1}$ 。

$8 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x)}^{- 1}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2} - 4 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 4 x$ 。

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

解题步骤 2.2.3

使用 $x^{2} - 4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 (- {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- 8 ({(x^{2} - 4 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $x^{2} - 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

解题步骤 2.3.4

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4 \cdot 1)$

解题步骤 2.3.6

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 8 \frac{1}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.2

合并项。

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解题步骤 2.4.2.1

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$ 。

$\frac{- 8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.3

重新排序 $- \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$ 的因式。

$- (2 x - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 2.4.4

运用分配律。

$(- (2 x) - - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 2.4.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(- 2 x - - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 2.4.6

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 2.4.7

化简分母。

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解题步骤 2.4.7.1

从 $x^{2} - 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.4.7.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x \cdot x - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 2.4.7.1.2

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x \cdot x + x \cdot - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.4.7.1.3

从 $x \cdot x + x \cdot - 4$ 中分解出因数 $x$ 。

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x (x - 4))}^{2}}$

解题步骤 2.4.7.2

对 $x (x - 4)$ 运用乘积法则。

$(- 2 x + 4) \frac{8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.4.8

将 $- 2 x + 4$ 乘以 $\frac{8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ 。

$\frac{(- 2 x + 4) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.4.9

化简分子。

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解题步骤 2.4.9.1

从 $- 2 x + 4$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.4.9.1.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{(2 (- x) + 4) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.4.9.1.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{(2 (- x) + 2 (2)) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.4.9.1.3

从 $2 (- x) + 2 (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x + 2) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.4.9.2

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$\frac{16 (- x + 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.4.10

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{16 (- (x) + 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.4.11

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$\frac{16 (- (x) - 1 (- 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.4.12

从 $- (x) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{16 (- (x - 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.4.13

将 $- (x - 2)$ 重写为 $- 1 (x - 2)$ 。

$\frac{16 (- 1 (x - 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.4.14

将负号移到分数的前面。

$- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}]$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{d}{d x} \frac{x - 2}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x - 2$ 且 $g (x) = x^{2} {(x - 4)}^{2}$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = {(x - 4)}^{2}$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x - 4$ 。

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解题步骤 3.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 4$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.3

使用 $x - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6

求微分。

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解题步骤 3.6.1

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) (1 + 0)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6.4

化简表达式。

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解题步骤 3.6.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) \cdot 1) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} (2 x))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6.6

合并分数。

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解题步骤 3.6.6.1

将 $2$ 移到 ${(x - 4)}^{2}$ 的左侧。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 \cdot ({(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6.6.2

组合 $- 16$ 和 $\frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x)}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6.6.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7

化简。

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解题步骤 3.7.1

对 $x^{2} {(x - 4)}^{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.2

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.3

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x + 2 \cdot - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.4

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} (2 \cdot - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.5

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2}) + 16 ((- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} (2 \cdot - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6

化简分子。

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解题步骤 3.7.6.1

从 $16 x^{2} {(x - 4)}^{2} + 16 (- x - - 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x)$ 中分解出因数 $16$ 。

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解题步骤 3.7.6.1.1

从 $16 x^{2} {(x - 4)}^{2}$ 中分解出因数 $16$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2}) + 16 (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.1.2

从 $16 (- x - - 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x)$ 中分解出因数 $16$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2}) + 16 ((- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.1.3

从 $16 (x^{2} {(x - 4)}^{2}) + 16 ((- x - - 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))$ 中分解出因数 $16$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.2

将 ${(x - 4)}^{2}$ 重写为 $(x - 4) (x - 4)$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} ((x - 4) (x - 4)) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.3

使用 FOIL 方法展开 $(x - 4) (x - 4)$ 。

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解题步骤 3.7.6.3.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x (x - 4) - 4 (x - 4)) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.3.2

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.3.3

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.7.6.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.7.6.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.4.1.2

将 $- 4$ 移到 $x$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.4.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.4.2

从 $- 4 x$ 中减去 $4 x$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x^{2} - 8 x + 16) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.5

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.6

化简。

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解题步骤 3.7.6.6.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.7.6.6.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2 + 2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.6.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.6.2

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{2} x + x^{2} \cdot 16 + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.6.3

将 $16$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{2} x + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.7

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.7.6.7.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 (x \cdot x^{2}) + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.7.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.7.6.7.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 (x \cdot x^{2}) + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{1 + 2} + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.7.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.8

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.9

化简每一项。

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解题步骤 3.7.6.9.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.9.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.7.6.9.2.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.9.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.7.6.9.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.9.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.9.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.9.3

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.9.4

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.9.5

将 ${(x - 4)}^{2}$ 重写为 $(x - 4) (x - 4)$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 ((x - 4) (x - 4)) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.9.6

使用 FOIL 方法展开 $(x - 4) (x - 4)$ 。

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解题步骤 3.7.6.9.6.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.9.6.2

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.9.6.3

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.9.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.7.6.9.7.1

化简每一项。

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解题步骤 3.7.6.9.7.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.9.7.1.2

将 $- 4$ 移到 $x$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.9.7.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.9.7.2

从 $- 4 x$ 中减去 $4 x$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x^{2} - 8 x + 16) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.9.8

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + (2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 16) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.9.9

化简。

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解题步骤 3.7.6.9.9.1

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + (2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 16) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.9.9.2

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + (2 x^{2} - 16 x + 32) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.9.10

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{2} x - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.9.11

化简。

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解题步骤 3.7.6.9.11.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.7.6.9.11.1.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.9.11.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.7.6.9.11.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.9.11.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{1 + 2} - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.9.11.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{3} - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.9.11.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.7.6.9.11.2.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{3} - 16 (x \cdot x) + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.9.11.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{3} - 16 x^{2} + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.10

将 $2 x^{3}$ 和 $2 x^{3}$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (4 x^{3} - 8 x^{2} - 16 x^{2} + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.11

从 $- 8 x^{2}$ 中减去 $16 x^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.12

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- x + 2) (4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x)$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - x (4 x^{3}) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.13

化简每一项。

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解题步骤 3.7.6.13.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 x \cdot x^{3}) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.13.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.7.6.13.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 (x^{3} x)) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.13.2.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.7.6.13.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 (x^{3} x)) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.13.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{3 + 1}) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.13.2.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{4}) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.13.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.13.4

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 x \cdot x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.13.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.7.6.13.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 (x^{2} x)) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.13.5.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.7.6.13.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 (x^{2} x)) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.13.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 x^{2 + 1}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.13.5.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 x^{3}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.13.6

将 $- 1$ 乘以 $- 24$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.13.7

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 1 \cdot (32 x \cdot x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.13.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.7.6.13.8.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 1 \cdot (32 (x \cdot x)) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.13.8.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 1 \cdot (32 x^{2}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.13.9

将 $- 1$ 乘以 $32$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 32 x^{2} + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.13.10

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 32 x^{2} + 8 x^{3} + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.13.11

将 $- 24$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 32 x^{2} + 8 x^{3} - 48 x^{2} + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.13.12

将 $32$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 32 x^{2} + 8 x^{3} - 48 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.14

将 $24 x^{3}$ 和 $8 x^{3}$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{3} - 32 x^{2} - 48 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.15

从 $- 32 x^{2}$ 中减去 $48 x^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{3} - 80 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.16

从 $x^{4}$ 中减去 $4 x^{4}$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + 32 x^{3} - 80 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.17

将 $- 8 x^{3}$ 和 $32 x^{3}$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 16 x^{2} - 80 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.18

从 $16 x^{2}$ 中减去 $80 x^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} - 64 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.19

以因式分解的形式重写 $- 3 x^{4} + 24 x^{3} - 64 x^{2} + 64 x$ 。

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解题步骤 3.7.6.19.1

从 $- 3 x^{4} + 24 x^{3} - 64 x^{2} + 64 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.7.6.19.1.1

从 $- 3 x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3}) + 24 x^{3} - 64 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.19.1.2

从 $24 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3}) + x (24 x^{2}) - 64 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.19.1.3

从 $- 64 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3}) + x (24 x^{2}) + x (- 64 x) + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.19.1.4

从 $64 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3}) + x (24 x^{2}) + x (- 64 x) + x \cdot 64)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.19.1.5

从 $x (- 3 x^{3}) + x (24 x^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3} + 24 x^{2}) + x (- 64 x) + x \cdot 64)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.19.1.6

从 $x (- 3 x^{3} + 24 x^{2}) + x (- 64 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x) + x \cdot 64)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.19.1.7

从 $x (- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x) + x \cdot 64$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.6.19.2

使用有理根检验法因式分解 $- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64$ 。

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解题步骤 3.7.6.19.2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

$q = \pm 1, \pm 3$

解题步骤 3.7.6.19.2.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 64, \pm 21.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 32, \pm 10.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}, \pm 16, \pm 5.\overline{3}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}$

解题步骤 3.7.6.19.2.3

代入 $4$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $4$ 是多项式的根。

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解题步骤 3.7.6.19.2.3.1

将 $4$ 代入多项式。

$- 3 \cdot 4^{3} + 24 \cdot 4^{2} - 64 \cdot 4 + 64$

解题步骤 3.7.6.19.2.3.2

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 3 \cdot 64 + 24 \cdot 4^{2} - 64 \cdot 4 + 64$

解题步骤 3.7.6.19.2.3.3

将 $- 3$ 乘以 $64$ 。

$- 192 + 24 \cdot 4^{2} - 64 \cdot 4 + 64$

解题步骤 3.7.6.19.2.3.4

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 192 + 24 \cdot 16 - 64 \cdot 4 + 64$

解题步骤 3.7.6.19.2.3.5

将 $24$ 乘以 $16$ 。

$- 192 + 384 - 64 \cdot 4 + 64$

解题步骤 3.7.6.19.2.3.6

将 $- 192$ 和 $384$ 相加。

$192 - 64 \cdot 4 + 64$

解题步骤 3.7.6.19.2.3.7

将 $- 64$ 乘以 $4$ 。

$192 - 256 + 64$

解题步骤 3.7.6.19.2.3.8

从 $192$ 中减去 $256$ 。

$- 64 + 64$

解题步骤 3.7.6.19.2.3.9

将 $- 64$ 和 $64$ 相加。

$0$

解题步骤 3.7.6.19.2.4

因为 $4$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 4$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64}{x - 4}$

解题步骤 3.7.6.19.2.5

用 $- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64$ 除以 $x - 4$ 。

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解题步骤 3.7.6.19.2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$4$

$3 x^{3}$

$24 x^{2}$

$64 x$

$64$

解题步骤 3.7.6.19.2.5.2

将被除数中的最高阶项 $- 3 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				-	$3 x^{2}$
	$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$

解题步骤 3.7.6.19.2.5.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			-	$3 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

解题步骤 3.7.6.19.2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 3 x^{3} + 12 x^{2}$ 中的所有符号

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

解题步骤 3.7.6.19.2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$

解题步骤 3.7.6.19.2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$

解题步骤 3.7.6.19.2.5.7

将被除数中的最高阶项 $12 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$

解题步骤 3.7.6.19.2.5.8

将新的商式项乘以除数。

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$48 x$

解题步骤 3.7.6.19.2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $12 x^{2} - 48 x$ 中的所有符号

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$

解题步骤 3.7.6.19.2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$

解题步骤 3.7.6.19.2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$

解题步骤 3.7.6.19.2.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 16 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$16$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$

解题步骤 3.7.6.19.2.5.13

将新的商式项乘以除数。

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$16$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$
							-	$16 x$	+	$64$

解题步骤 3.7.6.19.2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 16 x + 64$ 中的所有符号

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$16$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$
							+	$16 x$	-	$64$

解题步骤 3.7.6.19.2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$16$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$
							+	$16 x$	-	$64$
										$0$

解题步骤 3.7.6.19.2.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$- 3 x^{2} + 12 x - 16$

解题步骤 3.7.6.19.2.6

将 $- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64$ 书写为因数的集合。

$f'' (x) = - \frac{16 (x ((x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{16 (x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.7

合并项。

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解题步骤 3.7.7.1

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.7.7.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{2 \cdot 2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.7.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{4} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.7.2

将 ${({(x - 4)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.7.7.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{4} {(x - 4)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 3.7.7.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{4} {(x - 4)}^{4}}$

解题步骤 3.7.7.3

约去 $x$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.7.3.1

从 $16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{x ((16 (x - 4)) (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{x^{4} {(x - 4)}^{4}}$

解题步骤 3.7.7.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.7.7.3.2.1

从 $x^{4} {(x - 4)}^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{x ((16 (x - 4)) (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{x (x^{3} {(x - 4)}^{4})}$

解题步骤 3.7.7.3.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = - \frac{x ((16 (x - 4)) (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{x (x^{3} {(x - 4)}^{4})}$

解题步骤 3.7.7.3.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{(16 (x - 4)) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{4}}$

解题步骤 3.7.7.4

约去 $x - 4$ 和 ${(x - 4)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.7.4.1

从 $16 (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)$ 中分解出因数 $x - 4$ 。

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (16 (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{x^{3} {(x - 4)}^{4}}$

解题步骤 3.7.7.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.7.7.4.2.1

从 $x^{3} {(x - 4)}^{4}$ 中分解出因数 $x - 4$ 。

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (16 (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{(x - 4) (x^{3} {(x - 4)}^{3})}$

解题步骤 3.7.7.4.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (16 (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{(x - 4) (x^{3} {(x - 4)}^{3})}$

解题步骤 3.7.7.4.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

解题步骤 3.7.8

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2}) + 12 x - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

解题步骤 3.7.9

从 $12 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2}) - (- 12 x) - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

解题步骤 3.7.10

从 $- (3 x^{2}) - (- 12 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2} - 12 x) - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

解题步骤 3.7.11

将 $- 16$ 重写为 $- 1 (16)$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2} - 12 x) - 1 \cdot 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

解题步骤 3.7.12

从 $- (3 x^{2} - 12 x) - 1 (16)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2} - 12 x + 16))}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

解题步骤 3.7.13

将 $- (3 x^{2} - 12 x + 16)$ 重写为 $- 1 (3 x^{2} - 12 x + 16)$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (- 1 (3 x^{2} - 12 x + 16))}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

解题步骤 3.7.14

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{16 (3 x^{2} - 12 x + 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

解题步骤 3.7.15

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 1 (\frac{16 (3 x^{2} - 12 x + 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.7.16

将 $\frac{16 (3 x^{2} - 12 x + 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{16 (3 x^{2} - 12 x + 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 5.1.1.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{8}{x^{2} - 4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4 x}]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4 x}]$

解题步骤 5.1.1.2

将 $\frac{1}{x^{2} - 4 x}$ 重写为 ${(x^{2} - 4 x)}^{- 1}$ 。

$8 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x)}^{- 1}]$

解题步骤 5.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2} - 4 x$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 4 x$ 。

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

解题步骤 5.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

解题步骤 5.1.2.3

使用 $x^{2} - 4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 (- {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

解题步骤 5.1.3

求微分。

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解题步骤 5.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- 8 ({(x^{2} - 4 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

解题步骤 5.1.3.2

根据加法法则， $x^{2} - 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

解题步骤 5.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

解题步骤 5.1.3.4

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4 \cdot 1)$

解题步骤 5.1.3.6

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4)$

解题步骤 5.1.4

化简。

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解题步骤 5.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 8 \frac{1}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

解题步骤 5.1.4.2

合并项。

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解题步骤 5.1.4.2.1

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$ 。

$\frac{- 8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

解题步骤 5.1.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

解题步骤 5.1.4.3

重新排序 $- \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$ 的因式。

$- (2 x - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 5.1.4.4

运用分配律。

$(- (2 x) - - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 5.1.4.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(- 2 x - - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 5.1.4.6

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 5.1.4.7

化简分母。

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解题步骤 5.1.4.7.1

从 $x^{2} - 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.1.4.7.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x \cdot x - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 5.1.4.7.1.2

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x \cdot x + x \cdot - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.1.4.7.1.3

从 $x \cdot x + x \cdot - 4$ 中分解出因数 $x$ 。

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x (x - 4))}^{2}}$

解题步骤 5.1.4.7.2

对 $x (x - 4)$ 运用乘积法则。

$(- 2 x + 4) \frac{8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.1.4.8

将 $- 2 x + 4$ 乘以 $\frac{8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ 。

$\frac{(- 2 x + 4) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.1.4.9

化简分子。

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解题步骤 5.1.4.9.1

从 $- 2 x + 4$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.1.4.9.1.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{(2 (- x) + 4) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.1.4.9.1.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{(2 (- x) + 2 (2)) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.1.4.9.1.3

从 $2 (- x) + 2 (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x + 2) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.1.4.9.2

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$\frac{16 (- x + 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.1.4.10

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{16 (- (x) + 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.1.4.11

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$\frac{16 (- (x) - 1 (- 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.1.4.12

从 $- (x) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{16 (- (x - 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.1.4.13

将 $- (x - 2)$ 重写为 $- 1 (x - 2)$ 。

$\frac{16 (- 1 (x - 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.1.4.14

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ 。

$- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

解题步骤 6.2

将分子设为等于零。

$16 (x - 2) = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 6.3.1

将 $16 (x - 2) = 0$ 中的每一项除以 $16$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1.1

将 $16 (x - 2) = 0$ 中的每一项都除以 $16$ 。

$\frac{16 (x - 2)}{16} = \frac{0}{16}$

解题步骤 6.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.1.2.1

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{16 (x - 2)}{16} = \frac{0}{16}$

解题步骤 6.3.1.2.1.2

用 $x - 2$ 除以 $1$ 。

$x - 2 = \frac{0}{16}$

解题步骤 6.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $16$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 6.3.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.2.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

解题步骤 7.2.2

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 7.2.2.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 7.2.2.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 7.2.2.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 7.2.2.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 7.2.2.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 7.2.2.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 7.2.3

将 ${(x - 4)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.2.3.1

将 ${(x - 4)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 4)}^{2} = 0$

解题步骤 7.2.3.2

求解 $x$ 的 ${(x - 4)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 7.2.3.2.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 7.2.3.2.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 7.2.4

最终解为使 $x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 4$

解题步骤 7.3

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x = 0, x = 4$

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = 2$

解题步骤 9

计算在 $x = 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{16 (3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 + 16)}{{(2)}^{3} {((2) - 4)}^{3}}$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

化简分子。

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解题步骤 10.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{16 (3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 16)}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

解题步骤 10.1.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{16 (12 - 12 \cdot 2 + 16)}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

解题步骤 10.1.3

将 $- 12$ 乘以 $2$ 。

$\frac{16 (12 - 24 + 16)}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

解题步骤 10.1.4

从 $12$ 中减去 $24$ 。

$\frac{16 (- 12 + 16)}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

解题步骤 10.1.5

将 $- 12$ 和 $16$ 相加。

$\frac{16 \cdot 4}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

解题步骤 10.2

化简分母。

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解题步骤 10.2.1

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$\frac{16 \cdot 4}{2^{3} {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 10.2.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{16 \cdot 4}{8 {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 10.2.3

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{16 \cdot 4}{8 \cdot - 8}$

解题步骤 10.3

化简表达式。

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解题步骤 10.3.1

将 $16$ 乘以 $4$ 。

$\frac{64}{8 \cdot - 8}$

解题步骤 10.3.2

将 $8$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{64}{- 64}$

解题步骤 10.3.3

用 $64$ 除以 $- 64$ 。

$- 1$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 2$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 2$ 是一个极大值

解题步骤 12

求 $x = 2$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \frac{8}{{(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 12.2.1.1

约去 $8$ 和 ${(2)}^{2} - 4 \cdot 2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.1.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2^{2} - 4 \cdot 2}$

解题步骤 12.2.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.1.1.2.1

从 $2^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 2 - 4 \cdot 2}$

解题步骤 12.2.1.1.2.2

从 $- 4 \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2)}$

解题步骤 12.2.1.1.2.3

从 $2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot (2 - 2 \cdot 2)}$

解题步骤 12.2.1.1.2.4

约去公因数。

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot (2 - 2 \cdot 2)}$

解题步骤 12.2.1.1.2.5

重写表达式。

$f (2) = \frac{4}{2 - 2 \cdot 2}$

解题步骤 12.2.1.2

约去 $4$ 和 $2 - 2 \cdot 2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2) = \frac{2 (2)}{2 - 2 \cdot 2}$

解题步骤 12.2.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.1.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1 - 2 \cdot 2}$

解题步骤 12.2.1.2.2.2

从 $- 2 \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1 + 2 (- 1 \cdot 2)}$

解题步骤 12.2.1.2.2.3

从 $2 (1) + 2 (- 1 \cdot 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1 - 1 \cdot 2)}$

解题步骤 12.2.1.2.2.4

约去公因数。

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1 - 1 \cdot 2)}$

解题步骤 12.2.1.2.2.5

重写表达式。

$f (2) = \frac{2}{1 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 12.2.2

化简分母。

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解题步骤 12.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = \frac{2}{1 - 2}$

解题步骤 12.2.2.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f (2) = \frac{2}{- 1}$

解题步骤 12.2.3

用 $2$ 除以 $- 1$ 。

$f (2) = - 2$

解题步骤 12.2.4

最终答案为 $- 2$ 。

$y = - 2$

解题步骤 13

这些是 $f (x) = \frac{8}{x^{2} - 4 x}$ 的局部极值。

$(2, - 2)$ 是一个局部最大值

解题步骤 14

微积分学 示例

微积分学示例