微积分学示例

$- \frac{12 y^{\frac{3}{2}}}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1

该导数无法用除法定则求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $- 12 y^{\frac{3}{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{12 y^{\frac{3}{2}}}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 y^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$- 12 y^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$- 12 y^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = 1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 12 y^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- 12 y^{\frac{3}{2}} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.3

使用 $1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 12 y^{\frac{3}{2}} (- {(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 12$ 。

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.2

根据加法法则， $1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]$ 。

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]))$

解题步骤 4.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]))$

解题步骤 4.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]$ 相加。

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.5

因为 $12 y^{\frac{1}{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x y^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $12 y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (12 y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 4.6

化简表达式。

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解题步骤 4.6.1

将 $12$ 移到 ${(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 的左侧。

$12 y^{\frac{3}{2}} (12 \cdot {(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.6.2

将 $12$ 乘以 $12$ 。

$144 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$144 y^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 6.1

在公分母上合并分子。

$144 y^{\frac{1 + 3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$144 y^{\frac{4}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.3

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$144 y^{\frac{2 \cdot 2}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$144 y^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.3.2.2

约去公因数。

$144 y^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.3.2.3

重写表达式。

$144 y^{\frac{2}{1}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.3.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$144 y^{2} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$144 y^{2} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \cdot 1)$

解题步骤 8

将 ${(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$144 y^{2} {(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$144 y^{2} \frac{1}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.2

合并项。

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解题步骤 9.2.1

组合 $144$ 和 $\frac{1}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 。

$y^{2} \frac{144}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.2.2

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{144}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 。

$\frac{y^{2} \cdot 144}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.2.3

将 $144$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$\frac{144 y^{2}}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.3

重新排序项。

$\frac{144 y^{2}}{{(12 y^{\frac{1}{2}} x + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.4

将 $\frac{144 y^{2}}{{(12 y^{\frac{1}{2}} x + 1)}^{2}}$ 中的因式重新排序。

$\frac{144 y^{2}}{{(12 x y^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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