微积分学示例

$\frac{3 x e^{x^{2}} + 8}{y}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 x e^{x^{2}} + 8$ 且 $g (x) = y$ 。

$\frac{y \frac{d}{d x} [3 x e^{x^{2}} + 8] - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 2

根据加法法则， $3 x e^{x^{2}} + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$\frac{y (\frac{d}{d x} [3 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x e^{x^{2}}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x e^{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ 。

$\frac{y (3 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x^{2}}$ 。

$\frac{y (3 (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$\frac{y (3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{y (3 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 3.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{y (3 (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{y (3 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{y (3 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 3.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y (3 (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y (3 (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y (3 (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 3.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{y (3 (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 3.10

将 $2$ 移到 $e^{x^{2}}$ 的左侧。

$\frac{y (3 (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 3.11

将 $e^{x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y (3 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 4

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{y (3 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + 0) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{y (3 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 3 e^{x^{2}} + 0) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 5.2

合并项。

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解题步骤 5.2.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{y (6 (x^{2} (e^{x^{2}})) + 3 e^{x^{2}} + 0) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 5.2.2

将 $6 x^{2} e^{x^{2}} + 3 e^{x^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}} + 3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$\frac{y (6 e^{x^{2}} x^{2} + 3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 5.4

将 $6 e^{x^{2}} x^{2} + 3 e^{x^{2}}$ 中的因式重新排序。

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}} + 3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 6

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}} + 3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \cdot 0}{y^{2}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}}) + y (3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \cdot 0}{y^{2}}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}}) + y (3 e^{x^{2}}) + (- (3 x e^{x^{2}}) - 1 \cdot 8) \cdot 0}{y^{2}}$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}}) + y (3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}}) \cdot 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

解题步骤 7.4

化简分子。

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解题步骤 7.4.1

化简每一项。

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解题步骤 7.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + y (3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}}) \cdot 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

解题步骤 7.4.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} - (3 x e^{x^{2}}) \cdot 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

解题步骤 7.4.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} - 3 (x e^{x^{2}}) \cdot 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

解题步骤 7.4.1.4

乘以 $- 3 x e^{x^{2}} \cdot 0$ 。

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解题步骤 7.4.1.4.1

将 $0$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 x e^{x^{2}} - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

解题步骤 7.4.1.4.2

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 e^{x^{2}} - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

解题步骤 7.4.1.4.3

将 $0$ 乘以 $e^{x^{2}}$ 。

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

解题步骤 7.4.1.5

乘以 $- 1 \cdot 8 \cdot 0$ 。

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解题步骤 7.4.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 - 8 \cdot 0}{y^{2}}$

解题步骤 7.4.1.5.2

将 $- 8$ 乘以 $0$ 。

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 + 0}{y^{2}}$

解题步骤 7.4.2

合并 $6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 + 0$ 中相反的项。

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解题步骤 7.4.2.1

将 $6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0}{y^{2}}$

解题步骤 7.4.2.2

将 $6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}}}{y^{2}}$

解题步骤 7.5

重新排序项。

$\frac{6 e^{x^{2}} x^{2} y + 3 e^{x^{2}} y}{y^{2}}$

解题步骤 7.6

从 $6 e^{x^{2}} x^{2} y + 3 e^{x^{2}} y$ 中分解出因数 $3 e^{x^{2}} y$ 。

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解题步骤 7.6.1

从 $6 e^{x^{2}} x^{2} y$ 中分解出因数 $3 e^{x^{2}} y$ 。

$\frac{3 e^{x^{2}} y (2 x^{2}) + 3 e^{x^{2}} y}{y^{2}}$

解题步骤 7.6.2

从 $3 e^{x^{2}} y$ 中分解出因数 $3 e^{x^{2}} y$ 。

$\frac{3 e^{x^{2}} y (2 x^{2}) + 3 e^{x^{2}} y (1)}{y^{2}}$

解题步骤 7.6.3

从 $3 e^{x^{2}} y (2 x^{2}) + 3 e^{x^{2}} y (1)$ 中分解出因数 $3 e^{x^{2}} y$ 。

$\frac{3 e^{x^{2}} y (2 x^{2} + 1)}{y^{2}}$

解题步骤 7.7

约去 $y$ 和 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 7.7.1

从 $3 e^{x^{2}} y (2 x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (3 e^{x^{2}} (2 x^{2} + 1))}{y^{2}}$

解题步骤 7.7.2

约去公因数。

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解题步骤 7.7.2.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (3 e^{x^{2}} (2 x^{2} + 1))}{y \cdot y}$

解题步骤 7.7.2.2

约去公因数。

$\frac{y (3 e^{x^{2}} (2 x^{2} + 1))}{y \cdot y}$

解题步骤 7.7.2.3

重写表达式。

$\frac{3 e^{x^{2}} (2 x^{2} + 1)}{y}$

微积分学 示例

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