微积分学示例

$\frac{\sqrt{5 - x^{3}}}{\sqrt{4 + x^{3}}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \sqrt{5 - x^{3}}$ 且 $g (x) = \sqrt{4 + x^{3}}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{5 - x^{3}}] - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5 - x^{3}}$ 重写成 ${(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} \frac{d}{d x} [{(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}] - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 5 - x^{3}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $5 - x^{3}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 3.3

使用 $5 - x^{3}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2} {(5 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2} {(5 - x^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2} {(5 - x^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 8

求微分。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2} {(5 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 8.2

合并分数。

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解题步骤 8.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(5 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{{(5 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 8.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(5 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 8.3

根据加法法则， $5 - x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 8.4

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 8.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 相加。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 8.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 8.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (- (3 x^{2}))) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 8.8

合并分数。

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解题步骤 8.8.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (- 3 x^{2})) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 8.8.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{- 3}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} x^{2}) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 8.8.3

组合 $\frac{- 3}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} \frac{- 3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 8.8.4

化简表达式。

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解题步骤 8.8.4.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 8.8.4.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{4 + x^{3}}$ 重写成 ${(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [{(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 9

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 4 + x^{3}$ 。

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解题步骤 9.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $4 + x^{3}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 + x^{3}])}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 9.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 + x^{3}])}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 9.3

使用 $4 + x^{3}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{1}{2} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 + x^{3}])}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 10

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{1}{2} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x^{3}])}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 11

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{1}{2} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x^{3}])}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 12

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{1}{2} {(4 + x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x^{3}])}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 13

化简分子。

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解题步骤 13.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{1}{2} {(4 + x^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x^{3}])}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 13.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{1}{2} {(4 + x^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x^{3}])}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 14

合并分数。

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解题步骤 14.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{1}{2} {(4 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x^{3}])}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 14.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(4 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{{(4 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 + x^{3}])}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 14.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(4 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{1}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 + x^{3}])}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 15

根据加法法则， $4 + x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{1}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{3}]))}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 16

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{1}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]))}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 17

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{3}]$ 相加。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{1}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 18

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{1}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2}))}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 19

合并分数。

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解题步骤 19.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{3}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} x^{2})}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 19.2

组合 $\frac{3}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{3 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20

化简。

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解题步骤 20.1

化简分子。

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解题步骤 20.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- \sqrt{4 + x^{3}} \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{3 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.2

组合 $\frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\sqrt{4 + x^{3}}$ 。

$\frac{- \frac{3 x^{2} \sqrt{4 + x^{3}}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{3 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.3

组合 $\frac{3 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\sqrt{5 - x^{3}}$ 。

$\frac{- \frac{3 x^{2} \sqrt{4 + x^{3}}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{2} \sqrt{5 - x^{3}}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.4

要将 $- \frac{3 x^{2} \sqrt{4 + x^{3}}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- \frac{3 x^{2} \sqrt{4 + x^{3}}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{2} \sqrt{5 - x^{3}}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.5

要将 $- \frac{3 x^{2} \sqrt{5 - x^{3}}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{{(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

解题步骤 20.1.6

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ 的形式。

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解题步骤 20.1.6.1

将 $\frac{3 x^{2} \sqrt{4 + x^{3}}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{{(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- \frac{3 x^{2} \sqrt{4 + x^{3}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{2} \sqrt{5 - x^{3}}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{{(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.6.2

将 $\frac{3 x^{2} \sqrt{5 - x^{3}}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{{(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{{(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- \frac{3 x^{2} \sqrt{4 + x^{3}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{2} \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.6.3

重新排序 $2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ 的因式。

$\frac{- \frac{3 x^{2} \sqrt{4 + x^{3}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{2} \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.7

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- 3 x^{2} \sqrt{4 + x^{3}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.8

以因式分解的形式重写 $\frac{- 3 x^{2} \sqrt{4 + x^{3}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 20.1.8.1

从 $- 3 x^{2} \sqrt{4 + x^{3}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $3 x^{2}$ 。

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解题步骤 20.1.8.1.1

从 $- 3 x^{2} \sqrt{4 + x^{3}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $3 x^{2}$ 。

$\frac{\frac{3 x^{2} (- \sqrt{4 + x^{3}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}) - 3 x^{2} \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.8.1.2

从 $- 3 x^{2} \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $3 x^{2}$ 。

$\frac{\frac{3 x^{2} (- \sqrt{4 + x^{3}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}) + 3 x^{2} (- \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.8.1.3

从 $3 x^{2} (- \sqrt{4 + x^{3}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}) + 3 x^{2} (- \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $3 x^{2}$ 。

$\frac{\frac{3 x^{2} (- \sqrt{4 + x^{3}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} - \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.8.2

合并指数。

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解题步骤 20.1.8.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{4 + x^{3}}$ 重写成 ${(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{3 x^{2} (- ({(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}) - \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{3 x^{2} (- {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.8.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{3 x^{2} (- {(4 + x^{3})}^{\frac{1 + 1}{2}} - \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.8.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{3 x^{2} (- {(4 + x^{3})}^{\frac{2}{2}} - \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.8.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 20.1.8.2.5.1

约去公因数。

$\frac{\frac{3 x^{2} (- {(4 + x^{3})}^{\frac{2}{2}} - \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.8.2.5.2

重写表达式。

$\frac{\frac{3 x^{2} (- {(4 + x^{3})}^{1} - \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.8.2.6

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5 - x^{3}}$ 重写成 ${(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{3 x^{2} (- {(4 + x^{3})}^{1} - ({(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.8.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{3 x^{2} (- {(4 + x^{3})}^{1} - {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.8.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{3 x^{2} (- {(4 + x^{3})}^{1} - {(5 - x^{3})}^{\frac{1 + 1}{2}})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.8.2.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{3 x^{2} (- {(4 + x^{3})}^{1} - {(5 - x^{3})}^{\frac{2}{2}})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.8.2.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 20.1.8.2.10.1

约去公因数。

$\frac{\frac{3 x^{2} (- {(4 + x^{3})}^{1} - {(5 - x^{3})}^{\frac{2}{2}})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.8.2.10.2

重写表达式。

$\frac{\frac{3 x^{2} (- {(4 + x^{3})}^{1} - {(5 - x^{3})}^{1})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.9

化简分子。

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解题步骤 20.1.9.1

化简。

$\frac{\frac{3 x^{2} (- (4 + x^{3}) - {(5 - x^{3})}^{1})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.9.2

运用分配律。

$\frac{\frac{3 x^{2} (- 1 \cdot 4 - x^{3} - {(5 - x^{3})}^{1})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.9.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\frac{3 x^{2} (- 4 - x^{3} - {(5 - x^{3})}^{1})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.9.4

化简。

$\frac{\frac{3 x^{2} (- 4 - x^{3} - (5 - x^{3}))}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.9.5

运用分配律。

$\frac{\frac{3 x^{2} (- 4 - x^{3} - 1 \cdot 5 - - x^{3})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.9.6

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{\frac{3 x^{2} (- 4 - x^{3} - 5 - - x^{3})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.9.7

乘以 $- - x^{3}$ 。

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解题步骤 20.1.9.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{3 x^{2} (- 4 - x^{3} - 5 + 1 x^{3})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.9.7.2

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{3 x^{2} (- 4 - x^{3} - 5 + x^{3})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.9.8

从 $- 4$ 中减去 $5$ 。

$\frac{\frac{3 x^{2} (- x^{3} - 9 + x^{3})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.9.9

将 $- x^{3}$ 和 $x^{3}$ 相加。

$\frac{\frac{3 x^{2} (0 - 9)}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.9.10

从 $0$ 中减去 $9$ 。

$\frac{\frac{3 x^{2} \cdot - 9}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.9.11

将 $- 9$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\frac{- 27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.1.10

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

解题步骤 20.2

合并项。

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解题步骤 20.2.1

将 ${\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}$ 重写为 $4 + x^{3}$ 。

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解题步骤 20.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{4 + x^{3}}$ 重写成 ${(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- \frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 20.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- \frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 20.2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{- \frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{(4 + x^{3})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 20.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 20.2.1.4.1

约去公因数。

$\frac{- \frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{(4 + x^{3})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 20.2.1.4.2

重写表达式。

$\frac{- \frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{(4 + x^{3})}^{1}}$

解题步骤 20.2.1.5

化简。

$\frac{- \frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{4 + x^{3}}$

解题步骤 20.2.2

将 $\frac{- \frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{4 + x^{3}}$ 重写为乘积形式。

$- \frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{4 + x^{3}}$

解题步骤 20.2.3

将 $\frac{1}{4 + x^{3}}$ 乘以 $\frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{27 x^{2}}{(4 + x^{3}) (2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 20.2.4

对 $4 + x^{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{27 x^{2}}{2 ({(4 + x^{3})}^{1} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}) {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{1 + \frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20.2.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20.2.7

在公分母上合并分子。

$- \frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{2 + 1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20.2.8

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{3}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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