微积分学示例

$s = \frac{t^{2} + 5 t - 1}{t^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d s} [\frac{f (s)}{g (s)}]$ 等于 $\frac{g (s) \frac{d}{d s} [f (s)] - f (s) \frac{d}{d s} [g (s)]}{{g (s)}^{2}}$ ，其中 $f (s) = t^{2} + 5 t - 1$ 且 $g (s) = t^{2}$ 。

$\frac{t^{2} \frac{d}{d s} [t^{2} + 5 t - 1] - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $t^{2} + 5 t - 1$ 对 $s$ 的导数是 $\frac{d}{d s} [t^{2}] + \frac{d}{d s} [5 t] + \frac{d}{d s} [- 1]$ 。

$\frac{t^{2} (\frac{d}{d s} [t^{2}] + \frac{d}{d s} [5 t] + \frac{d}{d s} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $t^{2}$ 对于 $s$ 是常数，所以 $t^{2}$ 对 $s$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{t^{2} (0 + \frac{d}{d s} [5 t] + \frac{d}{d s} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

因为 $5 t$ 对于 $s$ 是常数，所以 $5 t$ 对 $s$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{t^{2} (0 + 0 + \frac{d}{d s} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4

因为 $- 1$ 对于 $s$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $s$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{t^{2} (0 + 0 + 0) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

合并项。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{t^{2} (0 + 0) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{t^{2} \cdot 0 - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

解题步骤 4

因为 $t^{2}$ 对于 $s$ 是常数，所以 $t^{2}$ 对 $s$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{t^{2} \cdot 0 - (t^{2} + 5 t - 1) \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{t^{2} \cdot 0 + (- t^{2} - (5 t) - - 1) \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{t^{2} \cdot 0 - t^{2} \cdot 0 - (5 t) \cdot 0 - - 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.1

从 $t^{2} \cdot 0$ 中减去 $t^{2} \cdot 0$ 。

$\frac{0 - (5 t) \cdot 0 - - 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

从 $0$ 中减去 $5 t \cdot 0$ 。

$\frac{- (5 t) \cdot 0 - - 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 5 t \cdot 0 - - 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2

乘以 $- 5 t \cdot 0$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.1

将 $0$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{0 t - - 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2.2

将 $0$ 乘以 $t$ 。

$\frac{0 - - 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3.3

乘以 $- - 1 \cdot 0$ 。

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解题步骤 5.3.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{0 + 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3.3.2

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0 + 0}{{(t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{{(t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.4

将 ${(t^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{0}{t^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 5.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0}{t^{4}}$

解题步骤 5.5

用 $0$ 除以 $t^{4}$ 。

$0$

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