微积分学示例

$y = \frac{x^{4}}{4 x^{2} + 4}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = 4 x^{2} + 4$ 。

$\frac{(4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $4 x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4])}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (8 x + \frac{d}{d x} [4])}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $8 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{4 x^{2} (4 x^{3}) + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{4 \cdot 4 x^{2} x^{3} + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 5.2.1.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{4 \cdot 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 \cdot 4 x^{3 + 2} + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.2.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 \cdot 4 x^{5} + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{16 x^{5} + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.4

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 x^{4} x}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.6

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1.6.1

移动 $x$ 。

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 (x \cdot x^{4})}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.6.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 5.2.1.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 (x^{1} x^{4})}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 x^{1 + 4}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.6.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 x^{5}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.7

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 8 x^{5}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2

从 $16 x^{5}$ 中减去 $8 x^{5}$ 。

$\frac{8 x^{5} + 16 x^{3}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3

从 $8 x^{5} + 16 x^{3}$ 中分解出因数 $8 x^{3}$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $8 x^{5}$ 中分解出因数 $8 x^{3}$ 。

$\frac{8 x^{3} (x^{2}) + 16 x^{3}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

从 $16 x^{3}$ 中分解出因数 $8 x^{3}$ 。

$\frac{8 x^{3} (x^{2}) + 8 x^{3} (2)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.3

从 $8 x^{3} (x^{2}) + 8 x^{3} (2)$ 中分解出因数 $8 x^{3}$ 。

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.4

化简分母。

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解题步骤 5.4.1

从 $4 x^{2} + 4$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 5.4.1.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{{(4 (x^{2}) + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.2

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{{(4 (x^{2}) + 4 (1))}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.3

从 $4 (x^{2}) + 4 (1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{{(4 (x^{2} + 1))}^{2}}$

解题步骤 5.4.2

对 $4 (x^{2} + 1)$ 运用乘积法则。

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{4^{2} {(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.4.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.5

约去 $8$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.1

从 $8 x^{3} (x^{2} + 2)$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (x^{3} (x^{2} + 2))}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.2.1

从 $16 {(x^{2} + 1)}^{2}$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (x^{3} (x^{2} + 2))}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

解题步骤 5.5.2.2

约去公因数。

$\frac{8 (x^{3} (x^{2} + 2))}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

解题步骤 5.5.2.3

重写表达式。

$\frac{x^{3} (x^{2} + 2)}{2 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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