微积分学示例

$y = \frac{4 x^{3} - 3 x^{2}}{4 x^{5} - 4}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2}$ 且 $g (x) = 4 x^{5} - 4$ 。

$\frac{(4 x^{5} - 4) \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2}] - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 2

根据加法法则， $4 x^{3} - 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

$\frac{(4 x^{5} - 4) (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{(4 x^{5} - 4) (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{(4 x^{5} - 4) (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 3 (2 x)) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 5

根据加法法则， $4 x^{5} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 6

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{5}]$ 。

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解题步骤 6.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 6.3

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 7

使用常数法则求导。

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解题步骤 7.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (20 x^{4} + 0)}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 7.2

将 $20 x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) + (- (4 x^{3}) - (- 3 x^{2})) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x)$ 。

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解题步骤 8.3.1.1.1

运用分配律。

$\frac{4 x^{5} (12 x^{2} - 6 x) - 4 (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.1.2

运用分配律。

$\frac{4 x^{5} (12 x^{2}) + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.1.3

运用分配律。

$\frac{4 x^{5} (12 x^{2}) + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{4 \cdot 12 x^{5} x^{2} + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.2

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 8.3.1.2.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{4 \cdot 12 (x^{2} x^{5}) + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 \cdot 12 x^{2 + 5} + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.2.3

将 $2$ 和 $5$ 相加。

$\frac{4 \cdot 12 x^{7} + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.3

将 $4$ 乘以 $12$ 。

$\frac{48 x^{7} + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{48 x^{7} + 4 \cdot - 6 x^{5} x - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.5

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.3.1.2.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{48 x^{7} + 4 \cdot - 6 (x \cdot x^{5}) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 8.3.1.2.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{48 x^{7} + 4 \cdot - 6 (x^{1} x^{5}) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{48 x^{7} + 4 \cdot - 6 x^{1 + 5} - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.5.3

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$\frac{48 x^{7} + 4 \cdot - 6 x^{6} - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.6

将 $4$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.7

将 $12$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} - 4 (- 6 x) - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.8

将 $- 6$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - (4 x^{3}) (20 x^{4}) - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.3

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 8.3.1.3.1

移动 $x^{4}$ 。

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - (4 (x^{4} x^{3})) \cdot 20 - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - (4 x^{4 + 3}) \cdot 20 - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.3.3

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - (4 x^{7}) \cdot 20 - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 4 x^{7} \cdot 20 - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.5

将 $20$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 80 x^{7} - (- 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 8.3.1.6.1

移动 $x^{4}$ 。

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 80 x^{7} - (- 3 (x^{4} x^{2})) \cdot 20}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 80 x^{7} - (- 3 x^{4 + 2}) \cdot 20}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.6.3

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 80 x^{7} - (- 3 x^{6}) \cdot 20}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.7

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 80 x^{7} + 3 x^{6} \cdot 20}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.8

将 $20$ 乘以 $3$ 。

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 80 x^{7} + 60 x^{6}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3.2

从 $48 x^{7}$ 中减去 $80 x^{7}$ 。

$\frac{- 32 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x + 60 x^{6}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.3.3

将 $- 24 x^{6}$ 和 $60 x^{6}$ 相加。

$\frac{- 32 x^{7} + 36 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.4

从 $- 32 x^{7} + 36 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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解题步骤 8.4.1

从 $- 32 x^{7}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{4 x (- 8 x^{6}) + 36 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.4.2

从 $36 x^{6}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{4 x (- 8 x^{6}) + 4 x (9 x^{5}) - 48 x^{2} + 24 x}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.4.3

从 $- 48 x^{2}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{4 x (- 8 x^{6}) + 4 x (9 x^{5}) + 4 x (- 12 x) + 24 x}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.4.4

从 $24 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{4 x (- 8 x^{6}) + 4 x (9 x^{5}) + 4 x (- 12 x) + 4 x (6)}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.4.5

从 $4 x (- 8 x^{6}) + 4 x (9 x^{5})$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5}) + 4 x (- 12 x) + 4 x (6)}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.4.6

从 $4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5}) + 4 x (- 12 x)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x) + 4 x (6)}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.4.7

从 $4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x) + 4 x (6)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.5

化简分母。

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解题步骤 8.5.1

从 $4 x^{5} - 4$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 8.5.1.1

从 $4 x^{5}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{{(4 (x^{5}) - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.5.1.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{{(4 (x^{5}) + 4 (- 1))}^{2}}$

解题步骤 8.5.1.3

从 $4 (x^{5}) + 4 (- 1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{{(4 (x^{5} - 1))}^{2}}$

解题步骤 8.5.2

对 $4 (x^{5} - 1)$ 运用乘积法则。

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{4^{2} {(x^{5} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.5.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{16 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.6

约去 $4$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 8.6.1

从 $4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6))}{16 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.6.2

约去公因数。

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解题步骤 8.6.2.1

从 $16 {(x^{5} - 1)}^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6))}{4 (4 {(x^{5} - 1)}^{2})}$

解题步骤 8.6.2.2

约去公因数。

$\frac{4 (x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6))}{4 (4 {(x^{5} - 1)}^{2})}$

解题步骤 8.6.2.3

重写表达式。

$\frac{x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7

从 $- 8 x^{6}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x (- (8 x^{6}) + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.8

从 $9 x^{5}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x (- (8 x^{6}) - (- 9 x^{5}) - 12 x + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.9

从 $- (8 x^{6}) - (- 9 x^{5})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x (- (8 x^{6} - 9 x^{5}) - 12 x + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.10

从 $- 12 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x (- (8 x^{6} - 9 x^{5}) - (12 x) + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.11

从 $- (8 x^{6} - 9 x^{5}) - (12 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x (- (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x) + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.12

将 $6$ 重写为 $- 1 (- 6)$ 。

$\frac{x (- (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x) - 1 (- 6))}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.13

从 $- (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x) - 1 (- 6)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x (- (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x - 6))}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.14

将 $- (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x - 6)$ 重写为 $- 1 (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x - 6)$ 。

$\frac{x (- 1 (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x - 6))}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.15

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x - 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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