微积分学示例

$\frac{x + 8}{5 x^{2} e^{x}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 8$ 且 $g (x) = 5 x^{2} e^{x}$ 。

$\frac{5 x^{2} e^{x} \frac{d}{d x} [x + 8] - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$\frac{5 x^{2} e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]) - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{5 x^{2} e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [8]) - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.3

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{5 x^{2} e^{x} (1 + 0) - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.5

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2} e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ 。

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

解题步骤 4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

解题步骤 5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)))}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 (x^{2} e^{x}) + 5 (e^{x} (2 x)))}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 e^{x} x)}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 e^{x} x^{2} + 10 e^{x} x)}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.4

将 $5 e^{x} x^{2} + 10 e^{x} x$ 中的因式重新排序。

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

对 $5 x^{2} e^{x}$ 运用乘积法则。

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{{(5 x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.2

对 $5 x^{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 + (- x - 1 \cdot 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4

化简分子。

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解题步骤 7.4.1

化简每一项。

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解题步骤 7.4.1.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 x^{2} e^{x} + (- x - 1 \cdot 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{5 x^{2} e^{x} + (- x - 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(- x - 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})$ 。

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解题步骤 7.4.1.3.1

运用分配律。

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.3.2

运用分配律。

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x (5 x^{2} e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.3.3

运用分配律。

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x (5 x^{2} e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 7.4.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 7.4.1.4.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 7.4.1.4.1.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{5 x^{2} e^{x} - (x^{2} x) (5 e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.4.1.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.4.1.4.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{5 x^{2} e^{x} - (x^{2} x^{1}) (5 e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.4.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x^{2 + 1} (5 e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.4.1.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x^{3} (5 e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.4.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 1 \cdot 5 x^{3} e^{x} - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.4.1.3

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.4.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.4.1.4.1.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - (x \cdot x) (10 e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.4.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - x^{2} (10 e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.4.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 1 \cdot 10 x^{2} e^{x} - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.4.1.6

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 10 x^{2} e^{x} - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.4.1.7

将 $5$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 10 x^{2} e^{x} - 40 (x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.4.1.8

将 $10$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 10 x^{2} e^{x} - 40 x^{2} e^{x} - 80 x e^{x}}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.4.2

从 $- 10 x^{2} e^{x}$ 中减去 $40 x^{2} e^{x}$ 。

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 50 x^{2} e^{x} - 80 x e^{x}}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.2

从 $5 x^{2} e^{x}$ 中减去 $50 x^{2} e^{x}$ 。

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.5

合并项。

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解题步骤 7.5.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.5.2

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 x^{2 \cdot 2} {(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.5.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 x^{4} {(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.5.3

将 ${(e^{x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.5.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 x^{4} e^{x \cdot 2}}$

解题步骤 7.5.3.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 x^{4} e^{2 x}}$

解题步骤 7.6

重新排序项。

$\frac{- 45 e^{x} x^{2} - 5 e^{x} x^{3} - 80 e^{x} x}{25 e^{2 x} x^{4}}$

解题步骤 7.7

化简分子。

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解题步骤 7.7.1

从 $- 45 e^{x} x^{2} - 5 e^{x} x^{3} - 80 e^{x} x$ 中分解出因数 $5 e^{x} x$ 。

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解题步骤 7.7.1.1

从 $- 45 e^{x} x^{2}$ 中分解出因数 $5 e^{x} x$ 。

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x) - 5 e^{x} x^{3} - 80 e^{x} x}{25 e^{2 x} x^{4}}$

解题步骤 7.7.1.2

从 $- 5 e^{x} x^{3}$ 中分解出因数 $5 e^{x} x$ 。

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x) + 5 e^{x} x (- x^{2}) - 80 e^{x} x}{25 e^{2 x} x^{4}}$

解题步骤 7.7.1.3

从 $- 80 e^{x} x$ 中分解出因数 $5 e^{x} x$ 。

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x) + 5 e^{x} x (- x^{2}) + 5 e^{x} x (- 16)}{25 e^{2 x} x^{4}}$

解题步骤 7.7.1.4

从 $5 e^{x} x (- 9 x) + 5 e^{x} x (- x^{2})$ 中分解出因数 $5 e^{x} x$ 。

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x - x^{2}) + 5 e^{x} x (- 16)}{25 e^{2 x} x^{4}}$

解题步骤 7.7.1.5

从 $5 e^{x} x (- 9 x - x^{2}) + 5 e^{x} x (- 16)$ 中分解出因数 $5 e^{x} x$ 。

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x - x^{2} - 16)}{25 e^{2 x} x^{4}}$

解题步骤 7.7.2

重新排序项。

$\frac{5 e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16)}{25 e^{2 x} x^{4}}$

解题步骤 7.8

约去 $5$ 和 $25$ 的公因数。

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解题步骤 7.8.1

从 $5 e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{25 e^{2 x} x^{4}}$

解题步骤 7.8.2

约去公因数。

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解题步骤 7.8.2.1

从 $25 e^{2 x} x^{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{5 (5 e^{2 x} x^{4})}$

解题步骤 7.8.2.2

约去公因数。

$\frac{5 (e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{5 (5 e^{2 x} x^{4})}$

解题步骤 7.8.2.3

重写表达式。

$\frac{e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16)}{5 e^{2 x} x^{4}}$

解题步骤 7.9

约去 $e^{x}$ 和 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.9.1

从 $e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16)$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{5 e^{2 x} x^{4}}$

解题步骤 7.9.2

约去公因数。

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解题步骤 7.9.2.1

从 $5 e^{2 x} x^{4}$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{e^{2 x} (5 x^{4})}$

解题步骤 7.9.2.2

约去公因数。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{e^{2 x} (5 x^{4})}$

解题步骤 7.9.2.3

重写表达式。

$\frac{e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16)}{5 x^{4}}$

解题步骤 7.10

约去 $x$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 7.10.1

从 $e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (e^{- x} (- x^{2} - 9 x - 16))}{5 x^{4}}$

解题步骤 7.10.2

约去公因数。

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解题步骤 7.10.2.1

从 $5 x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (e^{- x} (- x^{2} - 9 x - 16))}{x (5 x^{3})}$

解题步骤 7.10.2.2

约去公因数。

$\frac{x (e^{- x} (- x^{2} - 9 x - 16))}{x (5 x^{3})}$

解题步骤 7.10.2.3

重写表达式。

$\frac{e^{- x} (- x^{2} - 9 x - 16)}{5 x^{3}}$

解题步骤 7.11

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{- x} (- (x^{2}) - 9 x - 16)}{5 x^{3}}$

解题步骤 7.12

从 $- 9 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{- x} (- (x^{2}) - (9 x) - 16)}{5 x^{3}}$

解题步骤 7.13

从 $- (x^{2}) - (9 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{- x} (- (x^{2} + 9 x) - 16)}{5 x^{3}}$

解题步骤 7.14

将 $- 16$ 重写为 $- 1 (16)$ 。

$\frac{e^{- x} (- (x^{2} + 9 x) - 1 (16))}{5 x^{3}}$

解题步骤 7.15

从 $- (x^{2} + 9 x) - 1 (16)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{- x} (- (x^{2} + 9 x + 16))}{5 x^{3}}$

解题步骤 7.16

将 $- (x^{2} + 9 x + 16)$ 重写为 $- 1 (x^{2} + 9 x + 16)$ 。

$\frac{e^{- x} (- 1 (x^{2} + 9 x + 16))}{5 x^{3}}$

解题步骤 7.17

将负号移到分数的前面。

$- \frac{e^{- x} (x^{2} + 9 x + 16)}{5 x^{3}}$

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