微积分学示例

$p (t) = \frac{\sqrt{t}}{2 t - 5}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = \sqrt{t}$ 且 $g (t) = 2 t - 5$ 。

$\frac{(2 t - 5) \frac{d}{d t} [\sqrt{t}] - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(2 t - 5) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 9

根据加法法则， $2 t - 5$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ 。

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 10

计算 $\frac{d}{d t} [2 t]$ 。

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解题步骤 10.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 10.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 10.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 11

使用常数法则求导。

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解题步骤 11.1

因为 $- 5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 + 0)}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 11.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

运用分配律。

$\frac{2 t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.2

化简每一项。

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解题步骤 12.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.1.1

从 $2 t$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.2.1.2

从 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (t) \frac{1}{2 (t^{\frac{1}{2}})} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.2.1.3

约去公因数。

$\frac{2 t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.2.1.4

重写表达式。

$\frac{t \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.2.2

组合 $t$ 和 $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{t}{t^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.2.3

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $t^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{t \cdot t^{- \frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.2.4

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 12.2.4.1

将 $t$ 乘以 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 12.2.4.1.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{t^{1} t^{- \frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.2.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{t^{1 - \frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.2.4.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.2.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{t^{\frac{2 - 1}{2}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.2.4.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.2.5

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.2.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.3

化简分子。

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解题步骤 12.3.1

要将 $t^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.3.2

组合 $t^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}}) - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.3.4

化简分子。

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解题步骤 12.3.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{2 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.3.4.2

通过指数相加将 $t^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 12.3.4.2.1

移动 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.3.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{2 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.3.4.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 t^{\frac{1 + 1}{2}} - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.3.4.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{2 t^{\frac{2}{2}} - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.3.4.2.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{\frac{2 t^{1} - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.3.4.3

化简 $2 t^{1}$ 。

$\frac{\frac{2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.3.5

要将 $- 2 \sqrt{t}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t} \cdot \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.3.6

组合 $- 2 \sqrt{t}$ 和 $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 \sqrt{t} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.3.7

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 t - 5 - 2 \sqrt{t} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.3.8

化简分子。

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解题步骤 12.3.8.1

乘以 $- 2 \sqrt{t} (2 t^{\frac{1}{2}})$ 。

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解题步骤 12.3.8.1.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 \sqrt{t} t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.3.8.1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.3.8.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.3.8.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 t^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.3.8.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 t^{\frac{2}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.3.8.1.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.8.1.6.1

约去公因数。

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 t^{\frac{2}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.3.8.1.6.2

重写表达式。

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 t^{1}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.3.8.2

化简。

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 t}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.3.8.3

从 $2 t$ 中减去 $4 t$ 。

$\frac{\frac{- 2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.4

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{- 2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.5

将 $\frac{- 2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{{(2 t - 5)}^{2}}$ 。

$\frac{- 2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.6

从 $- 2 t$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 t) - 5}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.7

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$\frac{- (2 t) - 1 (5)}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.8

从 $- (2 t) - 1 (5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 t + 5)}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.9

将 $- (2 t + 5)$ 重写为 $- 1 (2 t + 5)$ 。

$\frac{- 1 (2 t + 5)}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 12.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 t + 5}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 5)}^{2}}$

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