微积分学示例

$g (x) = \frac{8 x^{6} - 6 x^{8}}{x^{4}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 8 x^{6} - 6 x^{8}$ 且 $g (x) = x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [8 x^{6} - 6 x^{8}] - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 2

根据加法法则， $8 x^{6} - 6 x^{8}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]$ 。

$\frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [8 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{6}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$\frac{x^{4} (8 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$\frac{x^{4} (8 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $6$ 乘以 $8$ 。

$\frac{x^{4} (48 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x^{8}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ 。

$\frac{x^{4} (48 x^{5} - 6 \frac{d}{d x} [x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$\frac{x^{4} (48 x^{5} - 6 (8 x^{7})) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 4.3

将 $8$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{x^{4} (48 x^{5} - 48 x^{7}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 5.1

重新排序项。

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7} + 48 x^{5}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7} + 48 x^{5}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7}) + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7}) + x^{4} (48 x^{5}) + (- (8 x^{6}) - (- 6 x^{8})) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7}) + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 6.4

化简分子。

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解题步骤 6.4.1

化简每一项。

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解题步骤 6.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 48 x^{4} x^{7} + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.2

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{7}$ 。

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解题步骤 6.4.1.2.1

移动 $x^{7}$ 。

$\frac{- 48 (x^{7} x^{4}) + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 48 x^{7 + 4} + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.2.3

将 $7$ 和 $4$ 相加。

$\frac{- 48 x^{11} + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{4} x^{5} - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.4

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 6.4.1.4.1

移动 $x^{5}$ 。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 (x^{5} x^{4}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{5 + 4} - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.4.3

将 $5$ 和 $4$ 相加。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.5

通过指数相加将 $x^{6}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 6.4.1.5.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 (x^{3} x^{6})) \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 x^{3 + 6}) \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.5.3

将 $3$ 和 $6$ 相加。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 x^{9}) \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.6

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 8 x^{9} \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.7

将 $4$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.8

通过指数相加将 $x^{8}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 6.4.1.8.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 (x^{3} x^{8})) \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 x^{3 + 8}) \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.8.3

将 $3$ 和 $8$ 相加。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 x^{11}) \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.9

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} + 6 x^{11} \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.10

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} + 24 x^{11}}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 6.4.2

将 $- 48 x^{11}$ 和 $24 x^{11}$ 相加。

$\frac{- 24 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9}}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 6.4.3

从 $48 x^{9}$ 中减去 $32 x^{9}$ 。

$\frac{- 24 x^{11} + 16 x^{9}}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 6.5

将 ${(x^{4})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- 24 x^{11} + 16 x^{9}}{x^{4 \cdot 2}}$

解题步骤 6.5.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 24 x^{11} + 16 x^{9}}{x^{8}}$

解题步骤 6.6

从 $- 24 x^{11} + 16 x^{9}$ 中分解出因数 $8 x^{9}$ 。

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解题步骤 6.6.1

从 $- 24 x^{11}$ 中分解出因数 $8 x^{9}$ 。

$\frac{8 x^{9} (- 3 x^{2}) + 16 x^{9}}{x^{8}}$

解题步骤 6.6.2

从 $16 x^{9}$ 中分解出因数 $8 x^{9}$ 。

$\frac{8 x^{9} (- 3 x^{2}) + 8 x^{9} (2)}{x^{8}}$

解题步骤 6.6.3

从 $8 x^{9} (- 3 x^{2}) + 8 x^{9} (2)$ 中分解出因数 $8 x^{9}$ 。

$\frac{8 x^{9} (- 3 x^{2} + 2)}{x^{8}}$

解题步骤 6.7

约去 $x^{9}$ 和 $x^{8}$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.1

从 $8 x^{9} (- 3 x^{2} + 2)$ 中分解出因数 $x^{8}$ 。

$\frac{x^{8} (8 x (- 3 x^{2} + 2))}{x^{8}}$

解题步骤 6.7.2

约去公因数。

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解题步骤 6.7.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{x^{8} (8 x (- 3 x^{2} + 2))}{x^{8} \cdot 1}$

解题步骤 6.7.2.2

约去公因数。

$\frac{x^{8} (8 x (- 3 x^{2} + 2))}{x^{8} \cdot 1}$

解题步骤 6.7.2.3

重写表达式。

$\frac{8 x (- 3 x^{2} + 2)}{1}$

解题步骤 6.7.2.4

用 $8 x (- 3 x^{2} + 2)$ 除以 $1$ 。

$8 x (- 3 x^{2} + 2)$

解题步骤 6.8

运用分配律。

$8 x (- 3 x^{2}) + 8 x \cdot 2$

解题步骤 6.9

使用乘法的交换性质重写。

$8 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 8 x \cdot 2$

解题步骤 6.10

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$8 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 16 x$

解题步骤 6.11

化简每一项。

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解题步骤 6.11.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.11.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$8 \cdot - 3 (x^{2} x) + 16 x$

解题步骤 6.11.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.11.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 \cdot - 3 (x^{2} x^{1}) + 16 x$

解题步骤 6.11.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 \cdot - 3 x^{2 + 1} + 16 x$

解题步骤 6.11.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$8 \cdot - 3 x^{3} + 16 x$

解题步骤 6.11.2

将 $8$ 乘以 $- 3$ 。

$- 24 x^{3} + 16 x$

微积分学 示例

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