微积分学示例

$f (x) = \frac{(3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3)}{3 x + 5}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3)$ 且 $g (x) = 3 x + 5$ 。

$\frac{(3 x + 5) \frac{d}{d x} [(3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3)] - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 3 x^{2} + 5 x - 7$ 且 $g (x) = x^{2} - 3$ 。

$\frac{(3 x + 5) ((3 x^{2} + 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 7]) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{2} - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{(3 x + 5) ((3 x^{2} + 5 x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 7]) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(3 x + 5) ((3 x^{2} + 5 x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 7]) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(3 x + 5) ((3 x^{2} + 5 x - 7) (2 x + 0) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 7]) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(3 x + 5) ((3 x^{2} + 5 x - 7) (2 x) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 7]) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

将 $2$ 移到 $3 x^{2} + 5 x - 7$ 的左侧。

$\frac{(3 x + 5) (2 \cdot (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 7]) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.5

根据加法法则， $3 x^{2} + 5 x - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.6

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.8

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) (6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.9

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) (6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) (6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.11

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) (6 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 7])) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.12

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) (6 x + 5 + 0)) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.13

将 $6 x + 5$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) (6 x + 5)) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{(3 x + 5) ((2 (3 x^{2}) + 2 (5 x) + 2 \cdot - 7) x + (x^{2} - 3) (6 x + 5)) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2}) x + 2 (5 x) x + 2 \cdot - 7 x + (x^{2} - 3) (6 x + 5)) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2}) x + 2 (5 x) x + 2 \cdot - 7 x + (x^{2} - 3) (6 x) + (x^{2} - 3) \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.4

运用分配律。

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2}) x + 2 (5 x) x + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + (x^{2} - 3) \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.5

运用分配律。

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2}) x + 2 (5 x) x + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6

合并项。

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解题步骤 4.6.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{2} x + 2 (5 x) x + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(3 x + 5) (6 (x^{1} x^{2}) + 2 (5 x) x + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{1 + 2} + 2 (5 x) x + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 2 (5 x) x + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.5

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x \cdot x + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 (x^{1} x) + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.10

将 $2$ 乘以 $- 7$ 。

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.11

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.6.11.1

移动 $x$ 。

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x + x \cdot x^{2} \cdot 6 - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.11.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.6.11.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x + x^{1} x^{2} \cdot 6 - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x + x^{1 + 2} \cdot 6 - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.11.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x + x^{3} \cdot 6 - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.12

将 $6$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x + 6 \cdot x^{3} - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.13

将 $6$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x + 6 x^{3} - 18 x + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.14

将 $5$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x + 6 x^{3} - 18 x + 5 \cdot x^{2} - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.15

将 $- 3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x + 6 x^{3} - 18 x + 5 x^{2} - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.16

将 $6 x^{3}$ 和 $6 x^{3}$ 相加。

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x - 18 x + 5 x^{2} - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.17

从 $- 14 x$ 中减去 $18 x$ 。

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 10 x^{2} - 32 x + 5 x^{2} - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.18

将 $10 x^{2}$ 和 $5 x^{2}$ 相加。

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 15 x^{2} - 32 x - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 5

根据加法法则， $3 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 15 x^{2} - 32 x - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 6

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 6.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 15 x^{2} - 32 x - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 15 x^{2} - 32 x - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 6.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 15 x^{2} - 32 x - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) (3 + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 7

使用常数法则求导。

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解题步骤 7.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 15 x^{2} - 32 x - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) (3 + 0)}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 7.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 15 x^{2} - 32 x - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 15 x^{2} - 32 x - 15) + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2

化简分子。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(3 x + 5) (12 x^{3} + 15 x^{2} - 32 x - 15)$ 。

$\frac{3 x (12 x^{3}) + 3 x (15 x^{2}) + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 \cdot 12 x \cdot x^{3} + 3 x (15 x^{2}) + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 8.2.1.2.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{3 \cdot 12 (x^{3} x) + 3 x (15 x^{2}) + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2.2.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.2.1.2.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 \cdot 12 (x^{3} x^{1}) + 3 x (15 x^{2}) + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 \cdot 12 x^{3 + 1} + 3 x (15 x^{2}) + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2.2.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 \cdot 12 x^{4} + 3 x (15 x^{2}) + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2.3

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$\frac{36 x^{4} + 3 x (15 x^{2}) + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{36 x^{4} + 3 \cdot 15 x \cdot x^{2} + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 8.2.1.2.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{36 x^{4} + 3 \cdot 15 (x^{2} x) + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2.5.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.2.1.2.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{36 x^{4} + 3 \cdot 15 (x^{2} x^{1}) + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{36 x^{4} + 3 \cdot 15 x^{2 + 1} + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2.5.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{36 x^{4} + 3 \cdot 15 x^{3} + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2.6

将 $3$ 乘以 $15$ 。

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2.7

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} + 3 \cdot - 32 x \cdot x + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.2.1.2.8.1

移动 $x$ 。

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} + 3 \cdot - 32 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2.8.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} + 3 \cdot - 32 x^{2} + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2.9

将 $3$ 乘以 $- 32$ 。

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} - 96 x^{2} + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2.10

将 $- 15$ 乘以 $3$ 。

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} - 96 x^{2} - 45 x + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2.11

将 $12$ 乘以 $5$ 。

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} - 96 x^{2} - 45 x + 60 x^{3} + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2.12

将 $15$ 乘以 $5$ 。

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} - 96 x^{2} - 45 x + 60 x^{3} + 75 x^{2} + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2.13

将 $- 32$ 乘以 $5$ 。

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} - 96 x^{2} - 45 x + 60 x^{3} + 75 x^{2} - 160 x + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2.14

将 $5$ 乘以 $- 15$ 。

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} - 96 x^{2} - 45 x + 60 x^{3} + 75 x^{2} - 160 x - 75 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.3

将 $45 x^{3}$ 和 $60 x^{3}$ 相加。

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 96 x^{2} - 45 x + 75 x^{2} - 160 x - 75 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.4

将 $- 96 x^{2}$ 和 $75 x^{2}$ 相加。

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 45 x - 160 x - 75 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.5

从 $- 45 x$ 中减去 $160 x$ 。

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.6

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.6.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{2} - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.6.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{2} - 5 x - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.6.3

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{2} - 5 x + 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.7

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- 3 x^{2} - 5 x + 7) (x^{2} - 3)$ 。

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{2} x^{2} - 3 x^{2} \cdot - 3 - 5 x \cdot x^{2} - 5 x \cdot - 3 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.8

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.8.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 8.2.1.8.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 (x^{2} x^{2}) - 3 x^{2} \cdot - 3 - 5 x \cdot x^{2} - 5 x \cdot - 3 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.8.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{2 + 2} - 3 x^{2} \cdot - 3 - 5 x \cdot x^{2} - 5 x \cdot - 3 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.8.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{4} - 3 x^{2} \cdot - 3 - 5 x \cdot x^{2} - 5 x \cdot - 3 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.8.2

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{4} + 9 x^{2} - 5 x \cdot x^{2} - 5 x \cdot - 3 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.8.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 8.2.1.8.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{4} + 9 x^{2} - 5 (x^{2} x) - 5 x \cdot - 3 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.8.3.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.2.1.8.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{4} + 9 x^{2} - 5 (x^{2} x^{1}) - 5 x \cdot - 3 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.8.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{4} + 9 x^{2} - 5 x^{2 + 1} - 5 x \cdot - 3 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.8.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{4} + 9 x^{2} - 5 x^{3} - 5 x \cdot - 3 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.8.4

将 $- 3$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{4} + 9 x^{2} - 5 x^{3} + 15 x + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.8.5

将 $7$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{4} + 9 x^{2} - 5 x^{3} + 15 x + 7 x^{2} - 21) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.9

将 $9 x^{2}$ 和 $7 x^{2}$ 相加。

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{4} + 16 x^{2} - 5 x^{3} + 15 x - 21) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.10

运用分配律。

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 - 3 x^{4} \cdot 3 + 16 x^{2} \cdot 3 - 5 x^{3} \cdot 3 + 15 x \cdot 3 - 21 \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.11

化简。

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解题步骤 8.2.1.11.1

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 - 9 x^{4} + 16 x^{2} \cdot 3 - 5 x^{3} \cdot 3 + 15 x \cdot 3 - 21 \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.11.2

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 - 9 x^{4} + 48 x^{2} - 5 x^{3} \cdot 3 + 15 x \cdot 3 - 21 \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.11.3

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 - 9 x^{4} + 48 x^{2} - 15 x^{3} + 15 x \cdot 3 - 21 \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.11.4

将 $3$ 乘以 $15$ 。

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 - 9 x^{4} + 48 x^{2} - 15 x^{3} + 45 x - 21 \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.11.5

将 $- 21$ 乘以 $3$ 。

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 - 9 x^{4} + 48 x^{2} - 15 x^{3} + 45 x - 63}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2

从 $36 x^{4}$ 中减去 $9 x^{4}$ 。

$\frac{27 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + 48 x^{2} - 15 x^{3} + 45 x - 63}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.3

从 $105 x^{3}$ 中减去 $15 x^{3}$ 。

$\frac{27 x^{4} + 90 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + 48 x^{2} + 45 x - 63}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.4

将 $- 21 x^{2}$ 和 $48 x^{2}$ 相加。

$\frac{27 x^{4} + 90 x^{3} + 27 x^{2} - 205 x - 75 + 45 x - 63}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.5

将 $- 205 x$ 和 $45 x$ 相加。

$\frac{27 x^{4} + 90 x^{3} + 27 x^{2} - 160 x - 75 - 63}{{(3 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.6

从 $- 75$ 中减去 $63$ 。

$\frac{27 x^{4} + 90 x^{3} + 27 x^{2} - 160 x - 138}{{(3 x + 5)}^{2}}$

微积分学 示例

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