微积分学示例

$e^{x} - e^{3 x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $e^{x} - e^{3 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

解题步骤 1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{3 x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ 。

$e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 1.1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 1.1.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 1.1.3.2.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{x} - (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 1.1.3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{x} - (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 1.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x} - (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

解题步骤 1.1.3.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$e^{x} - (e^{3 x} \cdot 3)$

解题步骤 1.1.3.6

将 $3$ 移到 $e^{3 x}$ 的左侧。

$e^{x} - (3 \cdot e^{3 x})$

解题步骤 1.1.3.7

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = e^{x} - 3 e^{3 x}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $e^{x} - 3 e^{3 x}$ 。

$e^{x} - 3 e^{3 x}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $e^{x} - 3 e^{3 x} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$e^{x} - 3 e^{3 x} = 0$

解题步骤 2.2

通过在等式两边同时加上 $- 3 e^{3 x}$ 的方法来将其移到等式右边。

$e^{x} = 3 e^{3 x}$

解题步骤 2.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (3 e^{3 x})$

解题步骤 2.4

展开左边。

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解题步骤 2.4.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (3 e^{3 x})$

解题步骤 2.4.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (3 e^{3 x})$

解题步骤 2.4.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (3 e^{3 x})$

解题步骤 2.5

展开右边。

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解题步骤 2.5.1

将 $\ln (3 e^{3 x})$ 重写为 $\ln (3) + \ln (e^{3 x})$ 。

$x = \ln (3) + \ln (e^{3 x})$

解题步骤 2.5.2

通过将 $3 x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{3 x})$ 。

$x = \ln (3) + 3 x \ln (e)$

解题步骤 2.5.3

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x = \ln (3) + 3 x \cdot 1$

解题步骤 2.5.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (3) + 3 x$

解题步骤 2.6

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 2.6.1

从等式两边同时减去 $3 x$ 。

$x - 3 x = \ln (3)$

解题步骤 2.6.2

从 $x$ 中减去 $3 x$ 。

$- 2 x = \ln (3)$

解题步骤 2.7

将 $- 2 x = \ln (3)$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 2 x = \ln (3)$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\ln (3)}{- 2}$

解题步骤 2.7.2

化简左边。

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解题步骤 2.7.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\ln (3)}{- 2}$

解题步骤 2.7.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\ln (3)}{- 2}$

解题步骤 2.7.3

化简右边。

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解题步骤 2.7.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{\ln (3)}{2}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $e^{x} - e^{3 x}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = - \frac{\ln (3)}{2}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $- \frac{\ln (3)}{2}$ 替换 $x$ 。

$e^{- \frac{\ln (3)}{2}} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

将 $\frac{\ln (3)}{2}$ 重写为 $\frac{1}{2} \ln (3)$ 。

$e^{- (\frac{1}{2} \ln (3))} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

解题步骤 4.1.2.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (3)$ 。

$e^{- \ln (3^{\frac{1}{2}})} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

解题步骤 4.1.2.1.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- \ln (3^{\frac{1}{2}})$ 。

$e^{\ln ({(3^{\frac{1}{2}})}^{- 1})} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

解题步骤 4.1.2.1.4

指数函数和对数函数互为反函数。

${(3^{\frac{1}{2}})}^{- 1} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

解题步骤 4.1.2.1.5

将 ${(3^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1.2.1.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3^{\frac{1}{2} \cdot - 1} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

解题步骤 4.1.2.1.5.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$3^{\frac{- 1}{2}} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

解题步骤 4.1.2.1.5.3

将负号移到分数的前面。

$3^{- \frac{1}{2}} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

解题步骤 4.1.2.1.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

解题步骤 4.1.2.1.7

将 $\frac{\ln (3)}{2}$ 重写为 $\frac{1}{2} \ln (3)$ 。

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{3 (- (\frac{1}{2} \ln (3)))}$

解题步骤 4.1.2.1.8

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (3)$ 。

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{3 (- \ln (3^{\frac{1}{2}}))}$

解题步骤 4.1.2.1.9

乘以 $3 (- \ln (3^{\frac{1}{2}}))$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{- 3 \ln (3^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.1.2.1.9.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 3 \ln (3^{\frac{1}{2}})$ 。

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{- \ln ({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})}$

解题步骤 4.1.2.1.10

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- \ln ({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})$ 。

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{\ln ({({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})}^{- 1})}$

解题步骤 4.1.2.1.11

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - {({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})}^{- 1}$

解题步骤 4.1.2.1.12

将 ${({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1.2.1.12.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{3 \cdot - 1}$

解题步骤 4.1.2.1.12.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$

解题步骤 4.1.2.1.13

将 ${(3^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1.2.1.13.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{2} \cdot - 3}$

解题步骤 4.1.2.1.13.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 3$ 。

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{- 3}{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.13.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - 3^{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.1.2.2

要将 $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ 。

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.1.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $3^{\frac{3}{2}}$ 的形式。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将 $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ 。

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.1.2.3.2

通过指数相加将 $3^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $3^{\frac{2}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.2.3.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.1.2.3.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1 + 2}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.1.2.3.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.1.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{3^{\frac{2}{2}} - 1}{3^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.1.2.5

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.5.1

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{3^{1} - 1}{3^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.1.2.5.2

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 - 1}{3^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.1.2.5.3

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2

列出所有的点。

$(- \frac{\ln (3)}{2}, \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 5

微积分学 示例

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