微积分学示例

$- 6 \csc (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 \csc (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ 。

$- 6 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$- 6 (- \csc (x) \cot (x))$

解题步骤 1.1.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$6 (\csc (x) \cot (x))$

解题步骤 1.1.3.2

重新排序 $6 \csc (x) \cot (x)$ 的因式。

$f' (x) = 6 \cot (x) \csc (x)$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $6 \cot (x) \csc (x)$ 。

$6 \cot (x) \csc (x)$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $6 \cot (x) \csc (x) = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$6 \cot (x) \csc (x) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

解题步骤 2.3

将 $\cot (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将 $\cot (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cot (x) = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 $\cot (x) = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (0)$

解题步骤 2.3.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.2.1

$arccot (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 2.3.2.3

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{2}$

解题步骤 2.3.2.4

化简 $π + \frac{π}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 2.3.2.4.2

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 2.3.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

解题步骤 2.3.2.4.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.4.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

解题步骤 2.3.2.4.3.2

将 $2 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.3.2.5

求 $\cot (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 2.3.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 2.3.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 2.3.2.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 2.3.2.6

$\cot (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.4

将 $\csc (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

将 $\csc (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\csc (x) = 0$

解题步骤 2.4.2

余割函数值域为 $y \leq - 1$ 和 $y \geq 1$ 。由于 $0$ 不在该范围内，所以无解。

无解

解题步骤 2.5

最终解为使 $6 \cot (x) \csc (x) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.6

合并答案。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $\cot (x)$ 的自变量设为等于 $π n$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.2

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

${x | x = π n}$ , $n$ ，对任何整数 $n$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $- 6 \csc (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

在 $x = \frac{π}{2}$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

代入 $\frac{π}{2}$ 替换 $x$ 。

$- 6 \csc (\frac{π}{2})$

解题步骤 4.1.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

$\csc (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 6 \cdot 1$

解题步骤 4.1.2.2

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$- 6$

解题步骤 4.2

在 $x = \frac{3 π}{2}$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

代入 $\frac{3 π}{2}$ 替换 $x$ 。

$- 6 \csc (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 4.2.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1

通过在第一象限中求出具有同样三角函数值的角来应用参考角。将表达式变为负，因为余割在第四象限为负。

$- 6 (- \csc (\frac{π}{2}))$

解题步骤 4.2.2.2

$\csc (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 6 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 4.2.2.3

乘以 $- 6 (- 1 \cdot 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 6 \cdot - 1$

解题步骤 4.2.2.3.2

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$6$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(\frac{π}{2} + 2 π n, - 6), (\frac{3 π}{2} + 2 π n, 6)$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例