微积分学示例

$6 \sin (x) + \sin (2 x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 1.1.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.1.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$6 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.3.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$6 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.3.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

解题步骤 1.1.3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

解题步骤 1.1.3.5

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$f' (x) = 6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ 。

$6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$6 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = 0$

解题步骤 2.2

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$6 \cos (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.3

化简左边。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

运用分配律。

$6 \cos (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.3.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$6 \cos (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$6 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.4

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.4.1

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $- 4 (1 - \cos^{2} (x))$ 替换 $- 4 \sin^{2} (x)$ 。

$6 \cos (x) + 2 - 4 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.4.2

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.1

运用分配律。

$6 \cos (x) + 2 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.4.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$6 \cos (x) + 2 - 4 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$6 \cos (x) + 2 - 4 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.4.3

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$6 \cos (x) - 2 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.4.4

重新排列多项式。

$4 \cos^{2} (x) + 6 \cos (x) - 2 = 0$

解题步骤 2.4.5

代入 $u$ 替换 $\cos (x)$ 。

$4 {(u)}^{2} + 6 (u) - 2 = 0$

解题步骤 2.4.6

从 $4 u^{2} + 6 u - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.4.6.1

从 $4 u^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 u^{2}) + 6 u - 2 = 0$

解题步骤 2.4.6.2

从 $6 u$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 u^{2}) + 2 (3 u) - 2 = 0$

解题步骤 2.4.6.3

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 u^{2}) + 2 (3 u) + 2 (- 1) = 0$

解题步骤 2.4.6.4

从 $2 (2 u^{2}) + 2 (3 u)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 u^{2} + 3 u) + 2 (- 1) = 0$

解题步骤 2.4.6.5

从 $2 (2 u^{2} + 3 u) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$

解题步骤 2.4.7

将 $2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.4.7.1

将 $2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (2 u^{2} + 3 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.4.7.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.7.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (2 u^{2} + 3 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.4.7.2.1.2

用 $2 u^{2} + 3 u - 1$ 除以 $1$ 。

$2 u^{2} + 3 u - 1 = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.4.7.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.7.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$2 u^{2} + 3 u - 1 = 0$

解题步骤 2.4.8

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4.9

将 $a = 2$ 、 $b = 3$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.10

化简。

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解题步骤 2.4.10.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.10.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.10.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.4.10.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.10.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.10.1.3

将 $9$ 和 $8$ 相加。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.10.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

解题步骤 2.4.11

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.4.11.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.11.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.11.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.4.11.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.11.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.11.1.3

将 $9$ 和 $8$ 相加。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.11.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

解题步骤 2.4.11.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$u = \frac{- 3 + \sqrt{17}}{4}$

解题步骤 2.4.11.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$u = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{17}}{4}$

解题步骤 2.4.11.5

从 $\sqrt{17}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{17})}{4}$

解题步骤 2.4.11.6

从 $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{17})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u = \frac{- 1 (3 - \sqrt{17})}{4}$

解题步骤 2.4.11.7

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

解题步骤 2.4.12

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.4.12.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.12.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.12.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.4.12.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.12.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.12.1.3

将 $9$ 和 $8$ 相加。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.12.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

解题步骤 2.4.12.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$u = \frac{- 3 - \sqrt{17}}{4}$

解题步骤 2.4.12.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{17}}{4}$

解题步骤 2.4.12.5

从 $- \sqrt{17}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{17})}{4}$

解题步骤 2.4.12.6

从 $- 1 (3) - (\sqrt{17})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u = \frac{- 1 (3 + \sqrt{17})}{4}$

解题步骤 2.4.12.7

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

解题步骤 2.4.13

最终答案为两个解的组合。

$u = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

解题步骤 2.4.14

代入 $\cos (x)$ 替换 $u$ 。

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

解题步骤 2.4.15

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

解题步骤 2.4.16

在 $\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.16.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$

解题步骤 2.4.16.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.16.2.1

计算 $\arccos (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$ 。

$x = 1.28619336$

解题步骤 2.4.16.3

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 (3.14159265) - 1.28619336$

解题步骤 2.4.16.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.16.4.1

去掉圆括号。

$x = 2 (3.14159265) - 1.28619336$

解题步骤 2.4.16.4.2

化简 $2 (3.14159265) - 1.28619336$ 。

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解题步骤 2.4.16.4.2.1

将 $2$ 乘以 $3.14159265$ 。

$x = 6.2831853 - 1.28619336$

解题步骤 2.4.16.4.2.2

从 $6.2831853$ 中减去 $1.28619336$ 。

$x = 4.99699194$

解题步骤 2.4.16.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.4.16.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.4.16.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.4.16.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.4.16.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.4.16.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.28619336 + 2 π n, 4.99699194 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.4.17

在 $\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.17.1

余弦的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $- \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ 不在值域中，所以无解。

无解

解题步骤 2.4.18

列出所有解。

$x = 1.28619336 + 2 π n, 4.99699194 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 1.28619336$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $1.28619336$ 替换 $x$ 。

$6 \sin (1.28619336) + \sin (2 (1.28619336))$

解题步骤 4.1.2

将 $2$ 乘以 $1.28619336$ 。

$6 \sin (1.28619336) + \sin (2.57238673)$

解题步骤 4.2

在 $x = 4.99699194$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $4.99699194$ 替换 $x$ 。

$6 \sin (4.99699194) + \sin (2 (4.99699194))$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 乘以 $4.99699194$ 。

$6 \sin (4.99699194) + \sin (9.99398388)$

解题步骤 4.3

在 $x = 4.99699194 + 2 π$ 处计算

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解题步骤 4.3.1

代入 $4.99699194 + 2 π$ 替换 $x$ 。

$6 \sin (4.99699194 + 2 π) + \sin (2 (4.99699194 + 2 π))$

解题步骤 4.3.2

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $4.99699194$ 和 $2 π$ 相加。

$6 \sin (11.28017724) + \sin (2 (4.99699194 + 2 π))$

解题步骤 4.3.2.2

将 $4.99699194$ 和 $2 π$ 相加。

$6 \sin (11.28017724) + \sin (2 \cdot 11.28017724)$

解题步骤 4.3.2.3

将 $2$ 乘以 $11.28017724$ 。

$6 \sin (11.28017724) + \sin (22.56035449)$

解题步骤 4.4

在 $x = 4.99699194 + 4 π$ 处计算

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解题步骤 4.4.1

代入 $4.99699194 + 4 π$ 替换 $x$ 。

$6 \sin (4.99699194 + 4 π) + \sin (2 (4.99699194 + 4 π))$

解题步骤 4.4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.4.2.1

将 $4.99699194$ 和 $4 π$ 相加。

$6 \sin (17.56336255) + \sin (2 (4.99699194 + 4 π))$

解题步骤 4.4.2.2

将 $4.99699194$ 和 $4 π$ 相加。

$6 \sin (17.56336255) + \sin (2 \cdot 17.56336255)$

解题步骤 4.4.2.3

将 $2$ 乘以 $17.56336255$ 。

$6 \sin (17.56336255) + \sin (35.12672511)$

解题步骤 4.5

在 $x = 4.99699194 + 6 π$ 处计算

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解题步骤 4.5.1

代入 $4.99699194 + 6 π$ 替换 $x$ 。

$6 \sin (4.99699194 + 6 π) + \sin (2 (4.99699194 + 6 π))$

解题步骤 4.5.2

化简每一项。

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解题步骤 4.5.2.1

将 $4.99699194$ 和 $6 π$ 相加。

$6 \sin (23.84654786) + \sin (2 (4.99699194 + 6 π))$

解题步骤 4.5.2.2

将 $4.99699194$ 和 $6 π$ 相加。

$6 \sin (23.84654786) + \sin (2 \cdot 23.84654786)$

解题步骤 4.5.2.3

将 $2$ 乘以 $23.84654786$ 。

$6 \sin (23.84654786) + \sin (47.69309572)$

解题步骤 4.6

在 $x = 4.99699194 + 8 π$ 处计算

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解题步骤 4.6.1

代入 $4.99699194 + 8 π$ 替换 $x$ 。

$6 \sin (4.99699194 + 8 π) + \sin (2 (4.99699194 + 8 π))$

解题步骤 4.6.2

化简每一项。

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解题步骤 4.6.2.1

将 $4.99699194$ 和 $8 π$ 相加。

$6 \sin (30.12973317) + \sin (2 (4.99699194 + 8 π))$

解题步骤 4.6.2.2

将 $4.99699194$ 和 $8 π$ 相加。

$6 \sin (30.12973317) + \sin (2 \cdot 30.12973317)$

解题步骤 4.6.2.3

将 $2$ 乘以 $30.12973317$ 。

$6 \sin (30.12973317) + \sin (60.25946634)$

解题步骤 4.7

列出所有的点。

$(1.28619336 + 2 π n, 6 \sin (1.28619336) + \sin (2.57238673)), (4.99699194, 6 \sin (4.99699194) + \sin (9.99398388)), (4.99699194 + 2 π, 6 \sin (11.28017724) + \sin (22.56035449)), (4.99699194 + 4 π, 6 \sin (17.56336255) + \sin (35.12672511)), (4.99699194 + 6 π, 6 \sin (23.84654786) + \sin (47.69309572)), (4.99699194 + 8 π, 6 \sin (30.12973317) + \sin (60.25946634))$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

微积分学 示例

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