微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2}}{3 (1 - x)}$ ; $x = 0.4$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{2}}{3 (1 - x)}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 1 - x$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{(1 - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

将 $2$ 移到 $1 - x$ 的左侧。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.7

乘。

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解题步骤 1.3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.7.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2} \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.9

合并分数。

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解题步骤 1.3.9.1

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.9.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$ 。

$\frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

运用分配律。

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x)) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.4.2

运用分配律。

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3

化简分子。

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解题步骤 1.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.3.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x + 2 (- x) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.4.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x + 2 (- (x \cdot x)) + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x + 2 (- x^{2}) + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x - 2 x^{2} + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.2

将 $- 2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{2 x - x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.4.4

重新排序项。

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.4.5

从 $- x^{2} + 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.4.5.1

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (- x) + 2 x}{3 {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.4.5.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (- x) + x \cdot 2}{3 {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.4.5.3

从 $x (- x) + x \cdot 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (- x + 2)}{3 {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.4.6

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x (- (x) + 2)}{3 {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.4.7

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$\frac{x (- (x) - 1 (- 2))}{3 {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.4.8

从 $- (x) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x (- (x - 2))}{3 {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.4.9

将 $- (x - 2)$ 重写为 $- 1 (x - 2)$ 。

$\frac{x (- 1 (x - 2))}{3 {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.4.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x (x - 2)}{3 {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 2

使用表达式中的 $0.4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0.4) = - \frac{(0.4) ((0.4) - 2)}{3 {(1 - (0.4))}^{2}}$

解题步骤 3

将 $0.4$ 乘以 $0.4 - 2$ 。

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 {(1 - (0.4))}^{2}}$

解题步骤 4

化简分母。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $0.4$ 。

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 {(1 - 0.4)}^{2}}$

解题步骤 4.2

从 $1$ 中减去 $0.4$ 。

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 \cdot {0.6}^{2}}$

解题步骤 4.3

对 $0.6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 \cdot 0.36}$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

将 $3$ 乘以 $0.36$ 。

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{1.08}$

解题步骤 5.2

用 $- 0.64$ 除以 $1.08$ 。

$f' (0.4) = 0.\overline{592}$

解题步骤 5.3

将 $- 1$ 乘以 $- 0.\overline{592}$ 。

$f' (0.4) = 0.\overline{592}$

微积分学 示例

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