微积分学示例

$\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$

解题步骤 1

将 $\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$ 书写为一个函数。

$f (t) = \frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [28]$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [28]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d t} [\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $136$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $136 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}]$ 。

$136 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [28]$

解题步骤 2.1.2.2

将 $\frac{1}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}$ 重写为 ${(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 1}$ 。

$136 \frac{d}{d t} [{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [28]$

解题步骤 2.1.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{- 1}$ 且 $g (t) = 1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ 。

$136 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [28]$

解题步骤 2.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$136 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [28]$

解题步骤 2.1.2.3.3

使用 $1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [28]$

解题步骤 2.1.2.4

根据加法法则， $1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.25 {(t - 4.5)}^{2}]$ 。

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.25 {(t - 4.5)}^{2}])) + \frac{d}{d t} [28]$

解题步骤 2.1.2.5

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [0.25 {(t - 4.5)}^{2}])) + \frac{d}{d t} [28]$

解题步骤 2.1.2.6

因为 $0.25$ 对于 $t$ 是常数，所以 $0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $0.25 \frac{d}{d t} [{(t - 4.5)}^{2}]$ 。

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 \frac{d}{d t} [{(t - 4.5)}^{2}])) + \frac{d}{d t} [28]$

解题步骤 2.1.2.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = t - 4.5$ 。

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解题步骤 2.1.2.7.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $t - 4.5$ 。

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t - 4.5]))) + \frac{d}{d t} [28]$

解题步骤 2.1.2.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t - 4.5]))) + \frac{d}{d t} [28]$

解题步骤 2.1.2.7.3

使用 $t - 4.5$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) \frac{d}{d t} [t - 4.5]))) + \frac{d}{d t} [28]$

解题步骤 2.1.2.8

根据加法法则， $t - 4.5$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4.5]$ 。

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4.5])))) + \frac{d}{d t} [28]$

解题步骤 2.1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) (1 + \frac{d}{d t} [- 4.5])))) + \frac{d}{d t} [28]$

解题步骤 2.1.2.10

因为 $- 4.5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 4.5$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) (1 + 0)))) + \frac{d}{d t} [28]$

解题步骤 2.1.2.11

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [28]$

解题步骤 2.1.2.12

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5)))) + \frac{d}{d t} [28]$

解题步骤 2.1.2.13

将 $2$ 乘以 $0.25$ 。

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.5 (t - 4.5))) + \frac{d}{d t} [28]$

解题步骤 2.1.2.14

将 $0$ 和 $0.5 (t - 4.5)$ 相加。

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0.5 (t - 4.5))) + \frac{d}{d t} [28]$

解题步骤 2.1.2.15

将 $0.5$ 乘以 $- 1$ 。

$136 (- 0.5 {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (t - 4.5)) + \frac{d}{d t} [28]$

解题步骤 2.1.2.16

将 $- 0.5$ 乘以 $136$ 。

$- 68 {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (t - 4.5) + \frac{d}{d t} [28]$

解题步骤 2.1.3

因为 $28$ 对于 $t$ 是常数，所以 $28$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$- 68 {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (t - 4.5) + 0$

解题步骤 2.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 68 \frac{1}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5) + 0$

解题步骤 2.1.4.2

合并项。

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解题步骤 2.1.4.2.1

组合 $- 68$ 和 $\frac{1}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$ 。

$\frac{- 68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5) + 0$

解题步骤 2.1.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5) + 0$

解题步骤 2.1.4.2.3

将 $- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5)$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5)$

解题步骤 2.1.4.3

重新排序 $- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5)$ 的因式。

$- (t - 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.4

运用分配律。

$(- t - - 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.5

将 $- 1$ 乘以 $- 4.5$ 。

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.6

化简分母。

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解题步骤 2.1.4.6.1

将 ${(t - 4.5)}^{2}$ 重写为 $(t - 4.5) (t - 4.5)$ 。

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 ((t - 4.5) (t - 4.5)))}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.6.2

使用 FOIL 方法展开 $(t - 4.5) (t - 4.5)$ 。

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解题步骤 2.1.4.6.2.1

运用分配律。

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t (t - 4.5) - 4.5 (t - 4.5)))}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.6.2.2

运用分配律。

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t \cdot t + t \cdot - 4.5 - 4.5 (t - 4.5)))}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.6.2.3

运用分配律。

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t \cdot t + t \cdot - 4.5 - 4.5 t - 4.5 \cdot - 4.5))}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.6.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.4.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.6.3.1.1

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} + t \cdot - 4.5 - 4.5 t - 4.5 \cdot - 4.5))}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.6.3.1.2

将 $- 4.5$ 移到 $t$ 的左侧。

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} - 4.5 \cdot t - 4.5 t - 4.5 \cdot - 4.5))}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.6.3.1.3

将 $- 4.5$ 乘以 $- 4.5$ 。

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} - 4.5 t - 4.5 t + 20.25))}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.6.3.2

从 $- 4.5 t$ 中减去 $4.5 t$ 。

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} - 9 t + 20.25))}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.6.4

运用分配律。

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 t^{2} + 0.25 (- 9 t) + 0.25 \cdot 20.25)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.6.5

化简。

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解题步骤 2.1.4.6.5.1

将 $- 9$ 乘以 $0.25$ 。

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 t^{2} - 2.25 t + 0.25 \cdot 20.25)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.6.5.2

将 $0.25$ 乘以 $20.25$ 。

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 t^{2} - 2.25 t + 5.0625)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.6.6

将 $1$ 和 $5.0625$ 相加。

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.25 t^{2} - 2.25 t + 6.0625)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.6.7

从 $0.25 t^{2} - 2.25 t + 6.0625$ 中分解出因数 $0.0625$ 。

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解题步骤 2.1.4.6.7.1

从 $0.25 t^{2}$ 中分解出因数 $0.0625$ 。

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2}) - 2.25 t + 6.0625)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.6.7.2

从 $- 2.25 t$ 中分解出因数 $0.0625$ 。

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2}) + 0.0625 (- 36 t) + 6.0625)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.6.7.3

从 $6.0625$ 中分解出因数 $0.0625$ 。

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2}) + 0.0625 (- 36 t) + 0.0625 (97))}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.6.7.4

从 $0.0625 (4 t^{2}) + 0.0625 (- 36 t)$ 中分解出因数 $0.0625$ 。

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2} - 36 t) + 0.0625 (97))}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.6.7.5

从 $0.0625 (4 t^{2} - 36 t) + 0.0625 (97)$ 中分解出因数 $0.0625$ 。

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2} - 36 t + 97))}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.6.8

对 $0.0625 (4 t^{2} - 36 t + 97)$ 运用乘积法则。

$(- t + 4.5) \frac{68}{{0.0625}^{2} {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.6.9

对 $0.0625$ 进行 $2$ 次方运算。

$(- t + 4.5) \frac{68}{0.00390625 {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.7

从 $68$ 中分解出因数 $68$ 。

$(- t + 4.5) \frac{68 (1)}{0.00390625 {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.8

从 $0.00390625 {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}$ 中分解出因数 $0.00390625$ 。

$(- t + 4.5) \frac{68 (1)}{0.00390625 ({(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2})}$

解题步骤 2.1.4.9

分离分数。

$(- t + 4.5) (\frac{68}{0.00390625} \cdot \frac{1}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}})$

解题步骤 2.1.4.10

用 $68$ 除以 $0.00390625$ 。

$(- t + 4.5) (17408 \frac{1}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}})$

解题步骤 2.1.4.11

组合 $17408$ 和 $\frac{1}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ 。

$(- t + 4.5) \frac{17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.12

将 $- t + 4.5$ 乘以 $\frac{17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ 。

$\frac{(- t + 4.5) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.13

化简分子。

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解题步骤 2.1.4.13.1

从 $- t + 4.5$ 中分解出因数 $0.5$ 。

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解题步骤 2.1.4.13.1.1

从 $- t$ 中分解出因数 $0.5$ 。

$\frac{(0.5 (- 2 t) + 4.5) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.13.1.2

从 $4.5$ 中分解出因数 $0.5$ 。

$\frac{(0.5 (- 2 t) + 0.5 (9)) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.13.1.3

从 $0.5 (- 2 t) + 0.5 (9)$ 中分解出因数 $0.5$ 。

$\frac{0.5 (- 2 t + 9) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.13.2

将 $17408$ 乘以 $0.5$ 。

$\frac{8704 (- 2 t + 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.14

从 $- 2 t$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8704 (- (2 t) + 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.15

将 $9$ 重写为 $- 1 (- 9)$ 。

$\frac{8704 (- (2 t) - 1 (- 9))}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.16

从 $- (2 t) - 1 (- 9)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8704 (- (2 t - 9))}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.17

将 $- (2 t - 9)$ 重写为 $- 1 (2 t - 9)$ 。

$\frac{8704 (- 1 (2 t - 9))}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.18

将负号移到分数的前面。

$f' (t) = - \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

解题步骤 2.2

$f (t)$ 对 $t$ 的一阶导数是 $- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ 。

$- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$8704 (2 t - 9) = 0$

解题步骤 3.3

求解 $t$ 的方程。

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解题步骤 3.3.1

将 $8704 (2 t - 9) = 0$ 中的每一项除以 $8704$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $8704 (2 t - 9) = 0$ 中的每一项都除以 $8704$ 。

$\frac{8704 (2 t - 9)}{8704} = \frac{0}{8704}$

解题步骤 3.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.1.2.1

约去 $8704$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8704 (2 t - 9)}{8704} = \frac{0}{8704}$

解题步骤 3.3.1.2.1.2

用 $2 t - 9$ 除以 $1$ 。

$2 t - 9 = \frac{0}{8704}$

解题步骤 3.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $8704$ 。

$2 t - 9 = 0$

解题步骤 3.3.2

在等式两边都加上 $9$ 。

$2 t = 9$

解题步骤 3.3.3

将 $2 t = 9$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $2 t = 9$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 t}{2} = \frac{9}{2}$

解题步骤 3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 t}{2} = \frac{9}{2}$

解题步骤 3.3.3.2.1.2

用 $t$ 除以 $1$ 。

$t = \frac{9}{2}$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ 的值为 $\frac{9}{2}$ 。

$\frac{9}{2}$

解题步骤 5

求出让导数 $f' (t) = - \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (t) = \frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, \frac{9}{2}) \cup (\frac{9}{2}, \infty)$ 。

$(- \infty, \frac{9}{2}) \cup (\frac{9}{2}, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, \frac{9}{2})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $\frac{7}{2}$ 替换变量 $t$ 。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{8704 (2 (\frac{7}{2}) - 9)}{{(4 {(\frac{7}{2})}^{2} - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将 $8704$ 乘以 $2 (\frac{7}{2}) - 9$ 。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 {(\frac{7}{2})}^{2} - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

对 $\frac{7}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{7^{2}}{2^{2}}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{49}{2^{2}}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{49}{4}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.4.1

约去公因数。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{49}{4}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.4.2

重写表达式。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.5.1

从 $- 36$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 + 2 (- 18) (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.5.2

约去公因数。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 + 2 \cdot (- 18 (\frac{7}{2})) + 97)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.5.3

重写表达式。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 - 18 \cdot 7 + 97)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.6

将 $- 18$ 乘以 $7$ 。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 - 126 + 97)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.7

从 $49$ 中减去 $126$ 。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(- 77 + 97)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.8

将 $- 77$ 和 $97$ 相加。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{20^{2}}$

解题步骤 6.2.2.9

对 $20$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{400}$

解题步骤 6.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 6.2.3.1

约去 $- 17408$ 和 $400$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1.1

从 $- 17408$ 中分解出因数 $16$ 。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{16 (- 1088)}{400}$

解题步骤 6.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.3.1.2.1

从 $400$ 中分解出因数 $16$ 。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{16 \cdot - 1088}{16 \cdot 25}$

解题步骤 6.2.3.1.2.2

约去公因数。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{16 \cdot - 1088}{16 \cdot 25}$

解题步骤 6.2.3.1.2.3

重写表达式。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 1088}{25}$

解题步骤 6.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{1088}{25}$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $\frac{1088}{25}$ 。

$\frac{1088}{25}$

解题步骤 6.3

在 $t = \frac{7}{2}$ 处，导数为 $\frac{1088}{25}$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, \frac{9}{2})$ 上递增。

因为 $f' (t) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, \frac{9}{2})$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(\frac{9}{2}, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $\frac{11}{2}$ 替换变量 $t$ 。

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{8704 (2 (\frac{11}{2}) - 9)}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

将 $8704$ 乘以 $2 (\frac{11}{2}) - 9$ 。

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.2.1

对 $\frac{11}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{11^{2}}{2^{2}}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.2

对 $11$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{121}{2^{2}}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{121}{4}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.4.1

约去公因数。

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{121}{4}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.4.2

重写表达式。

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.5.1

从 $- 36$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 + 2 (- 18) (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.5.2

约去公因数。

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 + 2 \cdot (- 18 (\frac{11}{2})) + 97)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.5.3

重写表达式。

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 - 18 \cdot 11 + 97)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.6

将 $- 18$ 乘以 $11$ 。

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 - 198 + 97)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.7

从 $121$ 中减去 $198$ 。

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(- 77 + 97)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.8

将 $- 77$ 和 $97$ 相加。

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{20^{2}}$

解题步骤 7.2.2.9

对 $20$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{400}$

解题步骤 7.2.3

约去 $17408$ 和 $400$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1

从 $17408$ 中分解出因数 $16$ 。

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{16 (1088)}{400}$

解题步骤 7.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.2.1

从 $400$ 中分解出因数 $16$ 。

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{16 \cdot 1088}{16 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.3.2.2

约去公因数。

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{16 \cdot 1088}{16 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.3.2.3

重写表达式。

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{1088}{25}$

解题步骤 7.2.4

最终答案为 $- \frac{1088}{25}$ 。

$- \frac{1088}{25}$

解题步骤 7.3

在 $t = \frac{11}{2}$ 处，导数为 $- \frac{1088}{25}$ 。由于其值为负，函数在 $(\frac{9}{2}, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (t) < 0$ ，所以在 $(\frac{9}{2}, \infty)$ 上递减

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, \frac{9}{2})$

递减于： $(\frac{9}{2}, \infty)$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例