微积分学示例

$y = \log_{6} ({(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log_{6} (x)$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{6} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}]$

解题步骤 1.2

$\log_{6} (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1} \ln (6)}$ 。

$\frac{1}{u_{1} \ln (6)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}]$

解题步骤 1.3

使用 ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{7}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 2 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2} + 2 x$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{7}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{7}{2}$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {u_{2}}^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

解题步骤 2.3

使用 $x^{2} + 2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

解题步骤 6.2

从 $7$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

解题步骤 7

组合 $\frac{7}{2}$ 和 ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

解题步骤 8

根据加法法则， $x^{2} + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]))$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x]))$

解题步骤 10

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + 2 \cdot 1))$

解题步骤 12

化简表达式。

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解题步骤 12.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + 2))$

解题步骤 12.2

重新排序 $\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + 2)$ 的因式。

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} ((2 x + 2) \frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2})$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

合并项。

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解题步骤 13.1.1

将 $\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)}$ 。

$\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2 ({(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6))} (2 x + 2)$

解题步骤 13.1.2

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6) {(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2}}} (2 x + 2)$

解题步骤 13.1.3

化简分母。

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解题步骤 13.1.3.1

通过指数相加将 ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}$ 乘以 ${(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2}}$ 。

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解题步骤 13.1.3.1.1

移动 ${(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2}}$ 。

$\frac{7}{2 ({(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2}} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}) \ln (6)} (2 x + 2)$

解题步骤 13.1.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2} + \frac{7}{2}} \ln (6)} (2 x + 2)$

解题步骤 13.1.3.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{- 5 + 7}{2}} \ln (6)} (2 x + 2)$

解题步骤 13.1.3.1.4

将 $- 5$ 和 $7$ 相加。

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{2}} \ln (6)} (2 x + 2)$

解题步骤 13.1.3.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{1} \ln (6)} (2 x + 2)$

解题步骤 13.1.3.2

化简 $2 {(x^{2} + 2 x)}^{1} \ln (6)$ 。

$\frac{7}{2 (x^{2} + 2 x) \ln (6)} (2 x + 2)$

解题步骤 13.2

重新排序 $\frac{7}{2 (x^{2} + 2 x) \ln (6)} (2 x + 2)$ 的因式。

$(2 x + 2) \frac{7}{2 (x^{2} + 2 x) \ln (6)}$

解题步骤 13.3

从 $x^{2} + 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 13.3.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$(2 x + 2) \frac{7}{2 (x \cdot x + 2 x) \ln (6)}$

解题步骤 13.3.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$(2 x + 2) \frac{7}{2 (x \cdot x + x \cdot 2) \ln (6)}$

解题步骤 13.3.3

从 $x \cdot x + x \cdot 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$(2 x + 2) \frac{7}{2 (x (x + 2)) \ln (6)}$

$(2 x + 2) \frac{7}{2 x (x + 2) \ln (6)}$

解题步骤 13.4

将 $2 x + 2$ 乘以 $\frac{7}{2 x (x + 2) \ln (6)}$ 。

$\frac{(2 x + 2) \cdot 7}{2 x (x + 2) \ln (6)}$

解题步骤 13.5

约去 $2 x + 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.5.1

从 $(2 x + 2) \cdot 7$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 ((x + 1) \cdot 7)}{2 x (x + 2) \ln (6)}$

解题步骤 13.5.2

约去公因数。

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解题步骤 13.5.2.1

从 $2 x (x + 2) \ln (6)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 ((x + 1) \cdot 7)}{2 ((x (x + 2)) \ln (6))}$

解题步骤 13.5.2.2

约去公因数。

$\frac{2 ((x + 1) \cdot 7)}{2 ((x (x + 2)) \ln (6))}$

解题步骤 13.5.2.3

重写表达式。

$\frac{(x + 1) \cdot 7}{(x (x + 2)) \ln (6)}$

解题步骤 13.6

将 $7$ 移到 $x + 1$ 的左侧。

$\frac{7 \cdot (x + 1)}{x (x + 2) \ln (6)}$

解题步骤 13.7

将 $\frac{7 (x + 1)}{x (x + 2) \ln (6)}$ 中的因式重新排序。

$\frac{7 (x + 1)}{x \ln (6) (x + 2)}$

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