微积分学示例

$y = \frac{\sec (x) + \csc (x)}{\csc (x)}$

解题步骤 1

该导数无法用链式法则求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \sec (x) + \csc (x)$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

$\frac{\csc (x) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \csc (x)] - (\sec (x) + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{\csc^{2} (x)}$

解题步骤 3

根据加法法则， $\sec (x) + \csc (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ 。

$\frac{\csc (x) (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (\sec (x) + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{\csc^{2} (x)}$

解题步骤 4

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (\sec (x) + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{\csc^{2} (x)}$

解题步骤 5

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) - (\sec (x) + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{\csc^{2} (x)}$

解题步骤 6

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) - (\sec (x) + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{\csc^{2} (x)}$

解题步骤 7

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) + 1 (\sec (x) + \csc (x)) (\csc (x) \cot (x))}{\csc^{2} (x)}$

解题步骤 7.2

将 $\sec (x) + \csc (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) + (\sec (x) + \csc (x)) (\csc (x) \cot (x))}{\csc^{2} (x)}$

解题步骤 7.3

从 $\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) + (\sec (x) + \csc (x)) \csc (x) \cot (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

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解题步骤 7.3.1

从 $(\sec (x) + \csc (x)) \csc (x) \cot (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) ((\sec (x) + \csc (x)) \cot (x))}{\csc^{2} (x)}$

解题步骤 7.3.2

从 $\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) ((\sec (x) + \csc (x)) \cot (x))$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x) + (\sec (x) + \csc (x)) \cot (x))}{\csc^{2} (x)}$

解题步骤 8

约去公因数。

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解题步骤 8.1

从 $\csc^{2} (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x) + (\sec (x) + \csc (x)) \cot (x))}{\csc (x) \csc (x)}$

解题步骤 8.2

约去公因数。

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x) + (\sec (x) + \csc (x)) \cot (x))}{\csc (x) \csc (x)}$

解题步骤 8.3

重写表达式。

$\frac{\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x) + (\sec (x) + \csc (x)) \cot (x)}{\csc (x)}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\frac{\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x) + \sec (x) \cot (x) + \csc (x) \cot (x)}{\csc (x)}$

解题步骤 9.2

化简分子。

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解题步骤 9.2.1

合并 $\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x) + \sec (x) \cot (x) + \csc (x) \cot (x)$ 中相反的项。

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解题步骤 9.2.1.1

将 $- \csc (x) \cot (x)$ 和 $\csc (x) \cot (x)$ 相加。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cot (x) + 0}{\csc (x)}$

解题步骤 9.2.1.2

将 $\sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cot (x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cot (x)}{\csc (x)}$

解题步骤 9.2.2

化简每一项。

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解题步骤 9.2.2.1

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 9.2.2.1.1

将 $\sec (x)$ 和 $\cot (x)$ 重新排序。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \cot (x) \sec (x)}{\csc (x)}$

解题步骤 9.2.2.1.2

将 $\sec (x) \cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}}{\csc (x)}$

解题步骤 9.2.2.1.3

约去公因数。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \frac{1}{\sin (x)}}{\csc (x)}$

解题步骤 9.2.2.2

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \csc (x)}{\csc (x)}$

微积分学 示例

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