微积分学示例

$y = \frac{4 x^{2}}{{(7 - 5 x)}^{3}}$

解题步骤 1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x^{2}}{{(7 - 5 x)}^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(7 - 5 x)}^{3}}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(7 - 5 x)}^{3}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = {(7 - 5 x)}^{3}$ 。

$4 \frac{{(7 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(7 - 5 x)}^{3}]}{{({(7 - 5 x)}^{3})}^{2}}$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

将 ${({(7 - 5 x)}^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 \frac{{(7 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(7 - 5 x)}^{3}]}{{(7 - 5 x)}^{3 \cdot 2}}$

解题步骤 3.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$4 \frac{{(7 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(7 - 5 x)}^{3}]}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 \frac{{(7 - 5 x)}^{3} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(7 - 5 x)}^{3}]}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 3.3

将 $2$ 移到 ${(7 - 5 x)}^{3}$ 的左侧。

$4 \frac{2 \cdot {(7 - 5 x)}^{3} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(7 - 5 x)}^{3}]}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 7 - 5 x$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $7 - 5 x$ 。

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [7 - 5 x])}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [7 - 5 x])}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 4.3

使用 $7 - 5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - x^{2} (3 {(7 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [7 - 5 x])}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - 3 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [7 - 5 x])}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 5.2

根据加法法则， $7 - 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - 3 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 5 x]))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 5.3

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - 3 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 5.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 相加。

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - 3 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 5 x])}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 5.5

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - 3 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} (- 5 \frac{d}{d x} [x]))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 5.6

将 $- 5$ 乘以 $- 3$ 。

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x + 15 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [x]))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 5.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x + 15 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} \cdot 1)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 5.8

合并分数。

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解题步骤 5.8.1

将 ${(7 - 5 x)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x + 15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2}}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 5.8.2

组合 $4$ 和 $\frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x + 15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2}}{{(7 - 5 x)}^{6}}$ 。

$\frac{4 (2 {(7 - 5 x)}^{3} x + 15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{4 (2 {(7 - 5 x)}^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2

化简分子。

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解题步骤 6.2.1

使用二项式定理。

$\frac{4 (2 (7^{3} + 3 \cdot 7^{2} (- 5 x) + 3 \cdot 7 {(- 5 x)}^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{4 (2 (343 + 3 \cdot 7^{2} (- 5 x) + 3 \cdot 7 {(- 5 x)}^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.2.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4 (2 (343 + 3 \cdot 49 (- 5 x) + 3 \cdot 7 {(- 5 x)}^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.2.3

将 $3$ 乘以 $49$ 。

$\frac{4 (2 (343 + 147 (- 5 x) + 3 \cdot 7 {(- 5 x)}^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.2.4

将 $- 5$ 乘以 $147$ 。

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 3 \cdot 7 {(- 5 x)}^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.2.5

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 21 {(- 5 x)}^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.2.6

对 $- 5 x$ 运用乘积法则。

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 21 ({(- 5)}^{2} x^{2}) + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.2.7

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 21 (25 x^{2}) + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.2.8

将 $25$ 乘以 $21$ 。

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 525 x^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.2.9

对 $- 5 x$ 运用乘积法则。

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 525 x^{2} + {(- 5)}^{3} x^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.2.10

对 $- 5$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 525 x^{2} - 125 x^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.3

运用分配律。

$\frac{4 ((2 \cdot 343 + 2 (- 735 x) + 2 (525 x^{2}) + 2 (- 125 x^{3})) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.4

化简。

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解题步骤 6.2.4.1

将 $2$ 乘以 $343$ 。

$\frac{4 ((686 + 2 (- 735 x) + 2 (525 x^{2}) + 2 (- 125 x^{3})) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.4.2

将 $- 735$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 ((686 - 1470 x + 2 (525 x^{2}) + 2 (- 125 x^{3})) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.4.3

将 $525$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 ((686 - 1470 x + 1050 x^{2} + 2 (- 125 x^{3})) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.4.4

将 $- 125$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 ((686 - 1470 x + 1050 x^{2} - 250 x^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.5

运用分配律。

$\frac{4 (686 x - 1470 x \cdot x + 1050 x^{2} x - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.6

化简。

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解题步骤 6.2.6.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.2.6.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{4 (686 x - 1470 (x \cdot x) + 1050 x^{2} x - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.6.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{2} x - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.6.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.2.6.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 (x \cdot x^{2}) - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.6.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.6.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 (x^{1} x^{2}) - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.6.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{1 + 2} - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.6.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{3} - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.6.3

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.2.6.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{3} - 250 (x \cdot x^{3})) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.6.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 6.2.6.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{3} - 250 (x^{1} x^{3})) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.6.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{3} - 250 x^{1 + 3}) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.6.3.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{3} - 250 x^{4}) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.7

运用分配律。

$\frac{4 (686 x) + 4 (- 1470 x^{2}) + 4 (1050 x^{3}) + 4 (- 250 x^{4}) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.8

化简。

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解题步骤 6.2.8.1

将 $686$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2744 x + 4 (- 1470 x^{2}) + 4 (1050 x^{3}) + 4 (- 250 x^{4}) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.8.2

将 $- 1470$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4 (1050 x^{3}) + 4 (- 250 x^{4}) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.8.3

将 $1050$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} + 4 (- 250 x^{4}) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.8.4

将 $- 250$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.9

将 ${(7 - 5 x)}^{2}$ 重写为 $(7 - 5 x) (7 - 5 x)$ 。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} ((7 - 5 x) (7 - 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.10

使用 FOIL 方法展开 $(7 - 5 x) (7 - 5 x)$ 。

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解题步骤 6.2.10.1

运用分配律。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (7 (7 - 5 x) - 5 x (7 - 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.10.2

运用分配律。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (7 \cdot 7 + 7 (- 5 x) - 5 x (7 - 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.10.3

运用分配律。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (7 \cdot 7 + 7 (- 5 x) - 5 x \cdot 7 - 5 x (- 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.11

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.2.11.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.11.1.1

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 + 7 (- 5 x) - 5 x \cdot 7 - 5 x (- 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.11.1.2

将 $- 5$ 乘以 $7$ 。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 35 x - 5 x \cdot 7 - 5 x (- 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.11.1.3

将 $7$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 35 x - 35 x - 5 x (- 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.11.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 35 x - 35 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.11.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.2.11.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 35 x - 35 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.11.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 35 x - 35 x - 5 \cdot - 5 x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.11.1.6

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 35 x - 35 x + 25 x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.11.2

从 $- 35 x$ 中减去 $35 x$ 。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 70 x + 25 x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.12

运用分配律。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} \cdot 49 + 15 x^{2} (- 70 x) + 15 x^{2} (25 x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.13

化简。

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解题步骤 6.2.13.1

将 $49$ 乘以 $15$ 。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 x^{2} (- 70 x) + 15 x^{2} (25 x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.13.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 \cdot - 70 x^{2} x + 15 x^{2} (25 x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.13.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 \cdot - 70 x^{2} x + 15 \cdot 25 x^{2} x^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.14

化简每一项。

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解题步骤 6.2.14.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.2.14.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 \cdot - 70 (x \cdot x^{2}) + 15 \cdot 25 x^{2} x^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.14.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.14.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 \cdot - 70 (x^{1} x^{2}) + 15 \cdot 25 x^{2} x^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.14.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 \cdot - 70 x^{1 + 2} + 15 \cdot 25 x^{2} x^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.14.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 \cdot - 70 x^{3} + 15 \cdot 25 x^{2} x^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.14.2

将 $15$ 乘以 $- 70$ 。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} - 1050 x^{3} + 15 \cdot 25 x^{2} x^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.14.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.14.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} - 1050 x^{3} + 15 \cdot 25 (x^{2} x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.14.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} - 1050 x^{3} + 15 \cdot 25 x^{2 + 2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.14.3.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} - 1050 x^{3} + 15 \cdot 25 x^{4})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.14.4

将 $15$ 乘以 $25$ 。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} - 1050 x^{3} + 375 x^{4})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.15

运用分配律。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2}) + 4 (- 1050 x^{3}) + 4 (375 x^{4})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.16

化简。

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解题步骤 6.2.16.1

将 $735$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 2940 x^{2} + 4 (- 1050 x^{3}) + 4 (375 x^{4})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.16.2

将 $- 1050$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 2940 x^{2} - 4200 x^{3} + 4 (375 x^{4})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.16.3

将 $375$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 2940 x^{2} - 4200 x^{3} + 1500 x^{4}}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.17

将 $- 5880 x^{2}$ 和 $2940 x^{2}$ 相加。

$\frac{2744 x + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} - 2940 x^{2} - 4200 x^{3} + 1500 x^{4}}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.18

从 $4200 x^{3}$ 中减去 $4200 x^{3}$ 。

$\frac{2744 x - 1000 x^{4} - 2940 x^{2} + 0 + 1500 x^{4}}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.19

将 $2744 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 1000 x^{4} - 2940 x^{2} + 2744 x + 1500 x^{4}}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.20

将 $- 1000 x^{4}$ 和 $1500 x^{4}$ 相加。

$\frac{500 x^{4} - 2940 x^{2} + 2744 x}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.21

以因式分解的形式重写 $500 x^{4} - 2940 x^{2} + 2744 x$ 。

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解题步骤 6.2.21.1

从 $500 x^{4} - 2940 x^{2} + 2744 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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解题步骤 6.2.21.1.1

从 $500 x^{4}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{4 x (125 x^{3}) - 2940 x^{2} + 2744 x}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.21.1.2

从 $- 2940 x^{2}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{4 x (125 x^{3}) + 4 x (- 735 x) + 2744 x}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.21.1.3

从 $2744 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{4 x (125 x^{3}) + 4 x (- 735 x) + 4 x (686)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.21.1.4

从 $4 x (125 x^{3}) + 4 x (- 735 x)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{4 x (125 x^{3} - 735 x) + 4 x (686)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.21.1.5

从 $4 x (125 x^{3} - 735 x) + 4 x (686)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{4 x (125 x^{3} - 735 x + 686)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.21.2

使用有理根检验法因式分解 $125 x^{3} - 735 x + 686$ 。

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解题步骤 6.2.21.2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 686, \pm 2, \pm 343, \pm 7, \pm 98, \pm 14, \pm 49$

$q = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

解题步骤 6.2.21.2.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.008, \pm 0.2, \pm 0.04, \pm 686, \pm 5.488, \pm 137.2, \pm 27.44, \pm 2, \pm 0.016, \pm 0.4, \pm 0.08, \pm 343, \pm 2.744, \pm 68.6, \pm 13.72, \pm 7, \pm 0.056, \pm 1.4, \pm 0.28, \pm 98, \pm 0.784, \pm 19.6, \pm 3.92, \pm 14, \pm 0.112, \pm 2.8, \pm 0.56, \pm 49, \pm 0.392, \pm 9.8, \pm 1.96$

解题步骤 6.2.21.2.3

代入 $1.4$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1.4$ 是多项式的根。

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解题步骤 6.2.21.2.3.1

将 $1.4$ 代入多项式。

$125 \cdot {1.4}^{3} - 735 \cdot 1.4 + 686$

解题步骤 6.2.21.2.3.2

对 $1.4$ 进行 $3$ 次方运算。

$125 \cdot 2.744 - 735 \cdot 1.4 + 686$

解题步骤 6.2.21.2.3.3

将 $125$ 乘以 $2.744$ 。

$343 - 735 \cdot 1.4 + 686$

解题步骤 6.2.21.2.3.4

将 $- 735$ 乘以 $1.4$ 。

$343 - 1029 + 686$

解题步骤 6.2.21.2.3.5

从 $343$ 中减去 $1029$ 。

$- 686 + 686$

解题步骤 6.2.21.2.3.6

将 $- 686$ 和 $686$ 相加。

$0$

解题步骤 6.2.21.2.4

因为 $1.4$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $5 x - 7$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{125 x^{3} - 735 x + 686}{5 x - 7}$

解题步骤 6.2.21.2.5

用 $125 x^{3} - 735 x + 686$ 除以 $5 x - 7$ 。

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解题步骤 6.2.21.2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$5 x$

$7$

$125 x^{3}$

$0 x^{2}$

$735 x$

$686$

解题步骤 6.2.21.2.5.2

将被除数中的最高阶项 $125 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $5 x$ 。

					$25 x^{2}$
	$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$

解题步骤 6.2.21.2.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$25 x^{2}$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			+	$125 x^{3}$	-	$175 x^{2}$

解题步骤 6.2.21.2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $125 x^{3} - 175 x^{2}$ 中的所有符号

				$25 x^{2}$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$

解题步骤 6.2.21.2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$25 x^{2}$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$

解题步骤 6.2.21.2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$25 x^{2}$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$

解题步骤 6.2.21.2.5.7

将被除数中的最高阶项 $175 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $5 x$ 。

				$25 x^{2}$	+	$35 x$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$

解题步骤 6.2.21.2.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$25 x^{2}$	+	$35 x$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					+	$175 x^{2}$	-	$245 x$

解题步骤 6.2.21.2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $175 x^{2} - 245 x$ 中的所有符号

				$25 x^{2}$	+	$35 x$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$

解题步骤 6.2.21.2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$25 x^{2}$	+	$35 x$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$
							-	$490 x$

解题步骤 6.2.21.2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$25 x^{2}$	+	$35 x$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$
							-	$490 x$	+	$686$

解题步骤 6.2.21.2.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 490 x$ 除以除数中的最高阶项 $5 x$ 。

				$25 x^{2}$	+	$35 x$	-	$98$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$
							-	$490 x$	+	$686$

解题步骤 6.2.21.2.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$25 x^{2}$	+	$35 x$	-	$98$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$
							-	$490 x$	+	$686$
							-	$490 x$	+	$686$

解题步骤 6.2.21.2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 490 x + 686$ 中的所有符号

				$25 x^{2}$	+	$35 x$	-	$98$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$
							-	$490 x$	+	$686$
							+	$490 x$	-	$686$

解题步骤 6.2.21.2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$25 x^{2}$	+	$35 x$	-	$98$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$
							-	$490 x$	+	$686$
							+	$490 x$	-	$686$
										$0$

解题步骤 6.2.21.2.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$25 x^{2} + 35 x - 98$

解题步骤 6.2.21.2.6

将 $125 x^{3} - 735 x + 686$ 书写为因数的集合。

$\frac{4 x ((5 x - 7) (25 x^{2} + 35 x - 98))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.21.3

分组因式分解。

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解题步骤 6.2.21.3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 25 \cdot - 98 = - 2450$ 并且它们的和为 $b = 35$ 。

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解题步骤 6.2.21.3.1.1

从 $35 x$ 中分解出因数 $35$ 。

$\frac{4 x ((5 x - 7) (25 x^{2} + 35 (x) - 98))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.21.3.1.2

把 $35$ 重写为 $- 35$ 加 $70$

$\frac{4 x ((5 x - 7) (25 x^{2} + (- 35 + 70) x - 98))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.21.3.1.3

运用分配律。

$\frac{4 x ((5 x - 7) (25 x^{2} - 35 x + 70 x - 98))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.21.3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.2.21.3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{4 x ((5 x - 7) ((25 x^{2} - 35 x) + 70 x - 98))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.21.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{4 x ((5 x - 7) (5 x (5 x - 7) + 14 (5 x - 7)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.21.3.3

通过因式分解出最大公因数 $5 x - 7$ 来因式分解多项式。

$\frac{4 x ((5 x - 7) ((5 x - 7) (5 x + 14)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

$\frac{4 x ((5 x - 7) (5 x - 7) (5 x + 14))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.21.4

合并同类因式。

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解题步骤 6.2.21.4.1

对 $5 x - 7$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 x ({(5 x - 7)}^{1} (5 x - 7) (5 x + 14))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.21.4.2

对 $5 x - 7$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 x ({(5 x - 7)}^{1} {(5 x - 7)}^{1} (5 x + 14))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.21.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 x ({(5 x - 7)}^{1 + 1} (5 x + 14))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.2.21.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4 x ({(5 x - 7)}^{2} (5 x + 14))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

$\frac{4 x {(5 x - 7)}^{2} (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.3

约去 ${(5 x - 7)}^{2}$ 和 ${(7 - 5 x)}^{6}$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

从 $5 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 x {(- (- 5 x) - 7)}^{2} (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.3.2

将 $- 7$ 重写为 $- 1 (7)$ 。

$\frac{4 x {(- (- 5 x) - 1 (7))}^{2} (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.3.3

从 $- (- 5 x) - 1 (7)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 x {(- (- 5 x + 7))}^{2} (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.3.4

将 $- (- 5 x + 7)$ 重写为 $- 1 (- 5 x + 7)$ 。

$\frac{4 x {(- 1 (- 5 x + 7))}^{2} (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.3.5

对 $- 1 (- 5 x + 7)$ 运用乘积法则。

$\frac{4 x ({(- 1)}^{2} {(- 5 x + 7)}^{2}) (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.3.6

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4 x (1 {(- 5 x + 7)}^{2}) (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.3.7

将 ${(- 5 x + 7)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 x {(- 5 x + 7)}^{2} (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

解题步骤 6.3.8

重新排序项。

$\frac{4 x {(- 5 x + 7)}^{2} (5 x + 14)}{{(- 5 x + 7)}^{6}}$

解题步骤 6.3.9

从 $4 x {(- 5 x + 7)}^{2} (5 x + 14)$ 中分解出因数 ${(- 5 x + 7)}^{2}$ 。

$\frac{{(- 5 x + 7)}^{2} (4 x (5 x + 14))}{{(- 5 x + 7)}^{6}}$

解题步骤 6.3.10

约去公因数。

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解题步骤 6.3.10.1

从 ${(- 5 x + 7)}^{6}$ 中分解出因数 ${(- 5 x + 7)}^{2}$ 。

$\frac{{(- 5 x + 7)}^{2} (4 x (5 x + 14))}{{(- 5 x + 7)}^{2} {(- 5 x + 7)}^{4}}$

解题步骤 6.3.10.2

约去公因数。

$\frac{{(- 5 x + 7)}^{2} (4 x (5 x + 14))}{{(- 5 x + 7)}^{2} {(- 5 x + 7)}^{4}}$

解题步骤 6.3.10.3

重写表达式。

$\frac{4 x (5 x + 14)}{{(- 5 x + 7)}^{4}}$

微积分学 示例

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