微积分学示例

$y = {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{6}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(2 x - 5)}^{- 1}$ 且 $g (x) = {(x^{2} - 5 x)}^{6}$ 。

${(2 x - 5)}^{- 1} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 5 x)}^{6}] + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{6}$ 且 $g (x) = x^{2} - 5 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2} - 5 x$ 。

${(2 x - 5)}^{- 1} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

${(2 x - 5)}^{- 1} (6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

解题步骤 2.3

使用 $x^{2} - 5 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

${(2 x - 5)}^{- 1} (6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $6$ 移到 ${(2 x - 5)}^{- 1}$ 的左侧。

$6 \cdot {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x] + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x^{2} - 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

$6 {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

解题步骤 3.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x]) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} (2 x - 5 \cdot 1) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

解题步骤 3.6

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$6 {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} (2 x - 5) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

解题步骤 4

对 $2 x - 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 ({(2 x - 5)}^{1} {(2 x - 5)}^{- 1}) {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 {(2 x - 5)}^{1 - 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

解题步骤 6

化简表达式。

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解题步骤 6.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$6 {(2 x - 5)}^{0} {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

解题步骤 6.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$6 \cdot 1 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

解题步骤 6.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

解题步骤 7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = 2 x - 5$ 。

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解题步骤 7.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x - 5$ 。

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

解题步骤 7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

解题步骤 7.3

使用 $2 x - 5$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

解题步骤 8

求微分。

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解题步骤 8.1

根据加法法则， $2 x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

解题步骤 8.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

解题步骤 8.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

解题步骤 8.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

解题步骤 8.5

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} (2 + 0))$

解题步骤 8.6

化简表达式。

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解题步骤 8.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} \cdot 2)$

解题步骤 8.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- 2 {(2 x - 5)}^{- 2})$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- 2 \frac{1}{{(2 x - 5)}^{2}})$

解题步骤 9.2

合并项。

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解题步骤 9.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{{(2 x - 5)}^{2}}$ 。

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{- 2}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.2.2

将负号移到分数的前面。

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- \frac{2}{{(2 x - 5)}^{2}})$

解题步骤 9.2.3

组合 ${(x^{2} - 5 x)}^{6}$ 和 $\frac{2}{{(2 x - 5)}^{2}}$ 。

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} - \frac{{(x^{2} - 5 x)}^{6} \cdot 2}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.2.4

将 $2$ 移到 ${(x^{2} - 5 x)}^{6}$ 的左侧。

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} - \frac{2 \cdot {(x^{2} - 5 x)}^{6}}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.2.5

要将 $6 {(x^{2} - 5 x)}^{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(2 x - 5)}^{2}}{{(2 x - 5)}^{2}}$ 。

$\frac{6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} {(2 x - 5)}^{2}}{{(2 x - 5)}^{2}} - \frac{2 {(x^{2} - 5 x)}^{6}}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} {(2 x - 5)}^{2} - 2 {(x^{2} - 5 x)}^{6}}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.3

重新排序项。

$\frac{- 2 {(x^{2} - 5 x)}^{6} + 6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} {(2 x - 5)}^{2}}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4

化简分子。

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解题步骤 9.4.1

从 $- 2 {(x^{2} - 5 x)}^{6} + 6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} {(2 x - 5)}^{2}$ 中分解出因数 $2 {(x^{2} - 5 x)}^{5}$ 。

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解题步骤 9.4.1.1

从 $- 2 {(x^{2} - 5 x)}^{6}$ 中分解出因数 $2 {(x^{2} - 5 x)}^{5}$ 。

$\frac{2 {(x^{2} - 5 x)}^{5} (- (x^{2} - 5 x)) + 6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} {(2 x - 5)}^{2}}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.2

从 $6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} {(2 x - 5)}^{2}$ 中分解出因数 $2 {(x^{2} - 5 x)}^{5}$ 。

$\frac{2 {(x^{2} - 5 x)}^{5} (- (x^{2} - 5 x)) + 2 {(x^{2} - 5 x)}^{5} (3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.3

从 $2 {(x^{2} - 5 x)}^{5} (- (x^{2} - 5 x)) + 2 {(x^{2} - 5 x)}^{5} (3 {(2 x - 5)}^{2})$ 中分解出因数 $2 {(x^{2} - 5 x)}^{5}$ 。

$\frac{2 {(x^{2} - 5 x)}^{5} (- (x^{2} - 5 x) + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4.2

从 $x^{2} - 5 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 9.4.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 {(x \cdot x - 5 x)}^{5} (- (x^{2} - 5 x) + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4.2.2

从 $- 5 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 {(x \cdot x + x \cdot - 5)}^{5} (- (x^{2} - 5 x) + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4.2.3

从 $x \cdot x + x \cdot - 5$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 {(x (x - 5))}^{5} (- (x^{2} - 5 x) + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4.3

对 $x (x - 5)$ 运用乘积法则。

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- (x^{2} - 5 x) + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4.4

化简每一项。

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解题步骤 9.4.4.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} - (- 5 x) + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4.4.2

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4.4.3

将 ${(2 x - 5)}^{2}$ 重写为 $(2 x - 5) (2 x - 5)$ 。

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 ((2 x - 5) (2 x - 5)))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4.4.4

使用 FOIL 方法展开 $(2 x - 5) (2 x - 5)$ 。

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解题步骤 9.4.4.4.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5)))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4.4.4.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5)))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4.4.4.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4.4.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 9.4.4.5.1

化简每一项。

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解题步骤 9.4.4.5.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4.4.5.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 9.4.4.5.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4.4.5.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4.4.5.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4.4.5.1.4

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4.4.5.1.5

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4.4.5.1.6

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4.4.5.2

从 $- 10 x$ 中减去 $10 x$ 。

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (4 x^{2} - 20 x + 25))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4.4.6

运用分配律。

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (4 x^{2}) + 3 (- 20 x) + 3 \cdot 25)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4.4.7

化简。

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解题步骤 9.4.4.7.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 12 x^{2} + 3 (- 20 x) + 3 \cdot 25)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4.4.7.2

将 $- 20$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 12 x^{2} - 60 x + 3 \cdot 25)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4.4.7.3

将 $3$ 乘以 $25$ 。

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 12 x^{2} - 60 x + 75)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4.5

将 $- x^{2}$ 和 $12 x^{2}$ 相加。

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (11 x^{2} + 5 x - 60 x + 75)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4.6

从 $5 x$ 中减去 $60 x$ 。

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (11 x^{2} - 55 x + 75)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

微积分学 示例

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