微积分学示例

${(\csc (7 x - 1))}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = \csc (7 x - 1)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\csc (7 x - 1)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [\csc (7 x - 1)]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\csc (7 x - 1)]$

解题步骤 1.3

使用 $\csc (7 x - 1)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\csc (7 x - 1)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \csc (x)$ 且 $g (x) = 7 x - 1$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $7 x - 1$ 。

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x - 1])$

解题步骤 2.2

$\csc (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ 。

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x - 1])$

解题步骤 2.3

使用 $7 x - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) \frac{d}{d x} [7 x - 1])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $7 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

解题步骤 3.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

解题步骤 3.4

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) (7 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

解题步骤 3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) (7 + 0))$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) \cdot 7)$

解题步骤 3.6.2

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- 7 \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1))$

解题步骤 3.6.3

重新排序 $- 7 \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1)$ 的因式。

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

合并项。

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解题步骤 4.1.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

解题步骤 4.1.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

解题步骤 4.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

解题步骤 4.1.4

化简分子。

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解题步骤 4.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

解题步骤 4.1.4.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

解题步骤 4.1.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

解题步骤 4.1.6

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$\frac{2 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

解题步骤 4.1.7

组合 $- 7$ 和 $\frac{2 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 。

$\frac{- 7 (2 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}})}{3} (\cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

解题步骤 4.1.8

将 $2$ 乘以 $- 7$ 。

$\frac{- 14 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} (\cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

解题步骤 4.1.9

组合 $\cot (7 x - 1)$ 和 $\frac{- 14 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 。

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}})}{3} \csc (7 x - 1)$

解题步骤 4.1.10

组合 $\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}})}{3}$ 和 $\csc (7 x - 1)$ 。

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}) \csc (7 x - 1)}{3}$

解题步骤 4.1.11

对 $\csc (7 x - 1)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 (\csc^{1} (7 x - 1) {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}))}{3}$

解题步骤 4.1.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{1 - \frac{1}{3}})}{3}$

解题步骤 4.1.13

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}})}{3}$

解题步骤 4.1.14

在公分母上合并分子。

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{\frac{3 - 1}{3}})}{3}$

解题步骤 4.1.15

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3}})}{3}$

解题步骤 4.1.16

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\cot (7 x - 1) \cdot 14 {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 4.1.17

将 $14$ 移到 $\cot (7 x - 1)$ 的左侧。

$- \frac{14 \cot (7 x - 1) {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 4.2

将 $- \frac{14 \cot (7 x - 1) {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{14 {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3}} \cot (7 x - 1)}{3}$

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