微积分学示例

${(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{3}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{3}$ 且 $g (y) = x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d y} [x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11]$

解题步骤 1.3

使用 $x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} \frac{d}{d y} [x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11]$

解题步骤 2

根据加法法则， $x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [3 x z] + \frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d y} [11]$ 。

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (\frac{d}{d y} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [3 x z] + \frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d y} [11])$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{3}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x^{2} y^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 。

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [3 x z] + \frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d y} [11])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (x^{2} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [3 x z] + \frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d y} [11])$

解题步骤 3.3

将 $3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + \frac{d}{d y} [3 x z] + \frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d y} [11])$

解题步骤 4

因为 $3 x z$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3 x z$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d y} [11])$

解题步骤 5

计算 $\frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}]$ 。

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解题步骤 5.1

因为 $z^{3}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $y^{2} z^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $z^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 0 + z^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [11])$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 0 + z^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [11])$

解题步骤 5.3

将 $2$ 移到 $z^{3}$ 的左侧。

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 0 + 2 z^{3} y + \frac{d}{d y} [11])$

解题步骤 6

因为 $11$ 对于 $y$ 是常数，所以 $11$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 0 + 2 z^{3} y + 0)$

解题步骤 7

合并项。

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解题步骤 7.1

将 $3 x^{2} y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 2 z^{3} y + 0)$

解题步骤 7.2

将 $3 x^{2} y^{2} + 2 z^{3} y$ 和 $0$ 相加。

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 2 z^{3} y)$

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