微积分学示例

$q = \tan (\frac{t}{\sqrt{t + 9}})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ 等于 $f' (g (q)) g' (q)$ ，其中 $f (q) = \tan (q)$ 且 $g (q) = \frac{t}{\sqrt{t + 9}}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{t}{\sqrt{t + 9}}$ 。

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d q} [\frac{t}{\sqrt{t + 9}}]$

解题步骤 1.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d q} [\frac{t}{\sqrt{t + 9}}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{t}{\sqrt{t + 9}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{d}{d q} [\frac{t}{\sqrt{t + 9}}]$

解题步骤 2

将 $\frac{t}{\sqrt{t + 9}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{t + 9}}{\sqrt{t + 9}}$ 。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{d}{d q} [\frac{t}{\sqrt{t + 9}} \cdot \frac{\sqrt{t + 9}}{\sqrt{t + 9}}]$

解题步骤 3

合并和化简分母。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{t}{\sqrt{t + 9}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{t + 9}}{\sqrt{t + 9}}$ 。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 9}}{\sqrt{t + 9} \sqrt{t + 9}}]$

解题步骤 3.2

对 $\sqrt{t + 9}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 9}}{{\sqrt{t + 9}}^{1} \sqrt{t + 9}}]$

解题步骤 3.3

对 $\sqrt{t + 9}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 9}}{{\sqrt{t + 9}}^{1} {\sqrt{t + 9}}^{1}}]$

解题步骤 3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 9}}{{\sqrt{t + 9}}^{1 + 1}}]$

解题步骤 3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 9}}{{\sqrt{t + 9}}^{2}}]$

解题步骤 3.6

将 ${\sqrt{t + 9}}^{2}$ 重写为 $t + 9$ 。

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解题步骤 3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t + 9}$ 重写成 ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 9}}{{({(t + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}]$

解题步骤 3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 9}}{{(t + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}]$

解题步骤 3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 9}}{{(t + 9)}^{\frac{2}{2}}}]$

解题步骤 3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.4.1

约去公因数。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 9}}{{(t + 9)}^{\frac{2}{2}}}]$

解题步骤 3.6.4.2

重写表达式。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 9}}{{(t + 9)}^{1}}]$

解题步骤 3.6.5

化简。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 9}}{t + 9}]$

解题步骤 4

因为 $\frac{t \sqrt{t + 9}}{t + 9}$ 对于 $q$ 是常数，所以 $\frac{t \sqrt{t + 9}}{t + 9}$ 对 $q$ 的导数为 $0$ 。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \cdot 0$

解题步骤 5

将 $\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 9}})$ 乘以 $0$ 。

$0$

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