微积分学示例

$\frac{d}{d x} (\frac{a x - 2}{x^{3} - a})$

解题步骤 1

该导数无法用链式法则求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [\frac{f (a)}{g (a)}]$ 等于 $\frac{g (a) \frac{d}{d a} [f (a)] - f (a) \frac{d}{d a} [g (a)]}{{g (a)}^{2}}$ ，其中 $f (a) = a x - 2$ 且 $g (a) = x^{3} - a$ 。

$\frac{(x^{3} - a) \frac{d}{d a} [a x - 2] - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $a x - 2$ 对 $a$ 的导数是 $\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [- 2]$ 。

$\frac{(x^{3} - a) (\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $x$ 对于 $a$ 是常数，所以 $a x$ 对 $a$ 的导数是 $x \frac{d}{d a} [a]$ 。

$\frac{(x^{3} - a) (x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 等于 $n a^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{3} - a) (x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

解题步骤 3.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x^{3} - a) (x + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

解题步骤 3.5

因为 $- 2$ 对于 $a$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{3} - a) (x + 0) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

解题步骤 3.6

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $x^{3} - a$ 对 $a$ 的导数是 $\frac{d}{d a} [x^{3}] + \frac{d}{d a} [- a]$ 。

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) (\frac{d}{d a} [x^{3}] + \frac{d}{d a} [- a])}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

解题步骤 3.8

因为 $x^{3}$ 对于 $a$ 是常数，所以 $x^{3}$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) (0 + \frac{d}{d a} [- a])}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

解题步骤 3.9

将 $0$ 和 $\frac{d}{d a} [- a]$ 相加。

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) \frac{d}{d a} [- a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

解题步骤 3.10

因为 $- 1$ 对于 $a$ 是常数，所以 $- a$ 对 $a$ 的导数是 $- \frac{d}{d a} [a]$ 。

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) (- \frac{d}{d a} [a])}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

解题步骤 3.11

乘。

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解题步骤 3.11.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(x^{3} - a) x + 1 (a x - 2) \frac{d}{d a} [a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

解题步骤 3.11.2

将 $a x - 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x^{3} - a) x + (a x - 2) \frac{d}{d a} [a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

解题步骤 3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 等于 $n a^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{3} - a) x + (a x - 2) \cdot 1}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

解题步骤 3.13

将 $a x - 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x^{3} - a) x + a x - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{x^{3} x - a x + a x - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.1

合并 $x^{3} x - a x + a x - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $- a x$ 和 $a x$ 相加。

$\frac{x^{3} x + 0 - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $x^{3} x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{3} x - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} x^{1} - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{3 + 1} - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{4} - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

微积分学 示例

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