微积分学示例

$y = \frac{1}{x}$ ; $x = 1$ ; $y = \frac{1}{2}$ ; $x = 0$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 的 $\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 1.2.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x, 2 + y = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.1.2

Since $x, 2$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 2$ then find LCM for the variable part $x^{1}$ .

解题步骤 1.2.1.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

$1$ 列出各数的质因数。

解题步骤 1.2.1.4

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 1.2.1.5

因为除了 $1$ 和 $2$ 之外， $2$ 没有其他因数。

$2$ 是一个质数

解题步骤 1.2.1.6

$1, 2$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$2 + y = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.1.7

$x^{1}$ 的因式是 $x$ 本身。

$x = x$

解题步骤 1.2.1.8

$x^{1}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$x + y = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.1.9

$x, 2$ 的最小公倍数为数字部分 $2$ 乘以变量部分。

$2 x + y = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.2

将 $\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ 中的每一项乘以 $2 x$ 以消去分数。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ 中的每一项乘以 $2 x$ 。

$\frac{1}{x} (2 x) = \frac{1}{2} (2 x)$

解题步骤 1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \frac{1}{x} x = \frac{1}{2} (2 x)$

解题步骤 1.2.2.2.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{2}{x} x = \frac{1}{2} (2 x)$

解题步骤 1.2.2.2.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.3.1

约去公因数。

$\frac{2}{x} x = \frac{1}{2} (2 x)$

解题步骤 1.2.2.2.3.2

重写表达式。

$2 = \frac{1}{2} (2 x)$

解题步骤 1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.3.1.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 = \frac{1}{2} (2 (x))$

解题步骤 1.2.2.3.1.2

约去公因数。

$2 = \frac{1}{2} (2 x)$

解题步骤 1.2.2.3.1.3

重写表达式。

$2 = x$

解题步骤 1.2.3

将方程重写为 $x = 2$ 。

$x = 2$

解题步骤 1.3

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$y = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.4

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

$(2, \frac{1}{2})$

解题步骤 2

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} d x$

解题步骤 3

用积分求 $0$ 和 $1$ 之间的面积。

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解题步骤 3.1

将积分合并为一个单积分。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} - (\frac{1}{2}) d x$

解题步骤 3.2

将 $- 1$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} - \frac{1}{2} d x$

解题步骤 3.3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} d x$

解题步骤 3.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| x |)]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} d x$

解题步骤 3.5

应用常数不变法则。

$\ln (| x |)]_{0}^{1} + - \frac{1}{2} x]_{0}^{1}$

解题步骤 3.6

化简答案。

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解题步骤 3.6.1

组合 $\ln (| x |)]_{0}^{1}$ 和 $- \frac{1}{2} x]_{0}^{1}$ 。

$\ln (| x |) - \frac{1}{2} x]_{0}^{1}$

解题步骤 3.6.2

代入并化简。

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解题步骤 3.6.2.1

计算 $\ln (| x |) - \frac{1}{2} x$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\ln (| 1 |) - \frac{1}{2} \cdot 1) - (\ln (| 0 |) - \frac{1}{2} \cdot 0)$

解题步骤 3.6.2.2

化简。

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解题步骤 3.6.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| 1 |) - \frac{1}{2} - (\ln (| 0 |) - \frac{1}{2} \cdot 0)$

解题步骤 3.6.2.2.2

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| 1 |) - \frac{1}{2} - (\ln (| 0 |) + 0 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 3.6.2.2.3

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| 1 |) - \frac{1}{2} - (\ln (| 0 |) + 0)$

解题步骤 3.6.2.2.4

将 $\ln (| 0 |)$ 和 $0$ 相加。

$\ln (| 1 |) - \frac{1}{2} - \ln (| 0 |)$

解题步骤 3.6.3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| 1 |}{| 0 |}) - \frac{1}{2}$

解题步骤 3.6.4

化简。

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解题步骤 3.6.4.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $0$ 之间的距离为 $0$ 。

$\ln (\frac{| 1 |}{0}) - \frac{1}{2}$

解题步骤 3.6.4.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\ln (\frac{| 1 |}{0}) - \frac{1}{2}$

解题步骤 3.6.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\ln (\frac{| 1 |}{0}) - \frac{1}{2}$

解题步骤 3.7

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 4

微积分学 示例

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